小学数学培训总结[汇总15篇]
总结是把一定阶段内的有关情况分析研究，做出有指导性的经验方法以及结论的书面材料，它在我们的学习、工作中起到呈上启下的作用，不妨让我们认真地完成总结吧。那么我们该怎么去写总结呢？以下是小编收集整理的小学数学培训总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
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小学数学培训总结1
数”的产生成为人类文明发展的一个重要的标志。人类从识别事物多寡的原始的数觉能力，到抽象的“数”概念的形成，经历了一个缓慢渐进的过程。
第一次扩充：分数的引进；第二次扩充：0的引进；第三次扩充：负数的引进；第四次扩充：无理数的引进；第五次扩充：复数的引进。
从原有数集扩充到新数集所遵循的原则：原数集是扩充后新数集的真子集；原数集定义的元素间的关系和运算在新数集中同样地被定义；原数集中的元素在新数集中定义的运算结果与在原数集中的运算结果一致，且基本运算律保持；在原数集中不能施行或不能完全施行的某种运算，在新数集中能够施行；新数集是满足上述四条的数集中的最小数集。扩充方法：一种是把新引进的数加到已建立的数系中而扩充。另一种是从理论上创造一个集合，即通过定义等价类来建立新数系，然后指出新数系的一个部分集合与以前数，一种新的数，也就实现了数系的一次扩张。引入了负数，就实现了这个数系关于加减运算的自封闭。
有理数有一种简单的几何解释在一条水平的直线上，确定一段线段为单位长度，把它的左、右端点分别标设为0和1。正整数在0的右边，负整数在0的左边。对于分母q的有理数，就可以用把单位区间q等分的那些分点表示。每一个有理数都可以找到数轴上的一点与之对应。
无理数的引入正方形的边长和对角线不可公度。实现了数系的又一次扩张，可以满足数学上开方运算的需要，实现了实数系关于加减运算的封闭性。戴德金阐述了有理数的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每个有理数都将全部有理数分为两类，使得第一类中每个数都小于第二类中的任一个数，这个分类的有理数可以算在两类的任何一类中。利用这个分割法可以得到无理数的定义。
所建立的数系是同构的。
自然数的两大基本理论：基数理论和序数理论
基数理论当我们把所有表示数量的符号放在一起就得到了一个集合，我们称之为“数集”，为了度量“数集”当中表示数量的符号个数，我们首先要定义一个概念就是“基数”。19世纪中叶，数学家康托以集合理论为基础提出了自然数的基数理论。等价集合的共同特征称为基数。对于有限集合来说，基数就是元素的个数。自然数就有有限集合A的基数叫做自然数。记作“”。当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。空集的基数就是0。而一切自然数组成的集合，我们称之为自然数集，记为N。
序数理论皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论，进而完全确立了数系的理论。是根据一个集合里某些元素之间有“后继”这一基本关系和五条公理（皮亚诺公理），把自然数集里的元素按1、2、……这样一种基本关系而完全确定下来。
定义非空集合N中的元素叫做自然数,如果N的元素之间有一个基本关系“后继”(b后继于a,记为b=a′)，并满足下列公理：
（1）0∈N；
（2）0不是N中任何元素的后继元素；
（3）对N中任何元素a，有唯一的a′∈N；
（4）对N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后继于N中某一元素b；
（5）（归纳公理）如果MN，而且满足条件:①0∈M；②若a∈M，则a′∈M.那么，M=N这样，所构成的系统称为皮亚诺公理系统，它就是自然数系。
自然数0是作为空集的标记。在空集中，“0”作为记数法中的空位，在位置制记数中是不可缺少的。
自然数系所蕴含的思想
对应思想（可数的集合）自然数建立在对应概念之上，而且对应的思想也成为自然数的一个重要性质。一一对应关系是集合论中建立两个集合“相等”关系的一个重要概念。（导致了俗称“理发师悖论”的罗素悖论的发现）德国策梅罗提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，后又经过德国弗芝克尔改进形成了一个无矛盾的集合论公理系统（ZF公理系统）。数位思想
位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值。十进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。
负数的数学含义至少包括如下几个方面：+a与-a表示一对相反意义的量。引入负
数学符号有两种重要属性：抽象性和形象性。数学符号的意义在于：有了数学符号，才使得抽象的数学概念有了具体的表现形式，才使得具有一般意义的推理和运算、抽象的数学思维能以直观的、简约的形式表现出来。
字母代表数代数，原意就是指“文字代表数”的学问。使得许多算术问题可以转换为代数方程问题求解。根本的内涵是“未知数的符号x可以和数一样进行四则运算。文字代表数的真正价值在于：字母能够和数字一起进行四则运算和乘方、开方，进行指数、对数、三角等运算，乃至对字母进行微分、积分运算等等。
解析式数字、字母、运算符号按照一定规律有意义地结合而成的符号组合。解析式中的字母可以有不同的含义不同的含义不影响它基本运算规律和变形规则。解析式可以区分为两大类：一类是只含有代数运算的解析式叫代数式，没有开方运算的代数式称为有理式，否则称为无理式；没有除法运算的有理式称为整式，否则称为分式；没有加、减运算的整式称为单项式，否则称为多项式。另一类是包含初等超越运算的解析式统称为初等超越式，简称超越式。它包括指数式、对数式、三角函数式、反三角函数式。
解析式的恒等变形把一个给定的解析式变换为另一个与它恒等的解析式，叫做解析式的恒等变形。恒等是相对的。式的恒等变形也是可以连写的，因为它们对一切数，代入式都相等。但是，解方程时的同解变形，不是恒等变形，。代数式数学的符号语言
代数式是在数系基础上发展起来的。在初等代数中，所涉及的运算可分为两大类：1代数运算2初等超越运算：指数是无理数的乘方、对数、三角、反三角运算。
定义，在一个解析式中，如果对字母只进行有限次代数运算，那么这个解析式就称为代数式；如果对字母进行了有限次的初等超越运算，那么这个解析式就称为初等超越式，简称超越式。还可以进一步分类：只含有加、减、乘、除、指数为整数的乘方运算的代数式称为有理式；其余的代数式称为无理式；在有理式中，只含有加、减、乘运算称为整式（或多项式），其余的有理式称为分式。
“数”发展到“式”的意义导致了运算形式化、程序化及规则的公理化，包含了计算对象扩大化，即数系的扩大化问题。将抽象的符号运算应用到更一般的对象上，开辟了构造数学的新方向，为抽象代数学的发展埋下了伏笔，成为近代数学的显著特征。
数学符号具有重要的属性一是它的抽象性。符号代表了事物本质的特征，从而具有代表性和一般性。另一个重要的属性在于它的形象性。数学符号不但精确地表示数学抽象，而且是抽象内涵的简约形象。等式和方程
（一）方程的含义“含有未知数的等式叫方程”。这个定义简单明了，为大家所习用。不过，这个定义有不足。“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”把方程的核心价值提出来了，即为了寻求未知数。
判断一个代数式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知数。方程的概念一般用于两个领域：“求某个未知数的数”和“曲线与方程”在这两个领域中“方程”的概念本身并没有变化，而是研究的问题有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者则希望研究的是这些解的分布情况。方程解的个数（或解集的大小）与方程的存在域的大小有直接关系。
方程的分类依照方程解的个数分，可将方程分为无解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多个解、有无穷多个解和全体实数解等。方程按照它所含有的未知数的个数来分类：集。两个不等式的解集相同，则称这两个不等式是同解的。
不等式有三个基本性质：1不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，2不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变3不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。不等式的实际应用在运动变化过程中，如果用函数模型刻画运动变化的两个变量x、y之间的关系，那么.方程模型刻画的是x、y变化过程中某一瞬间的情况，而不等式模型刻画的是变化过程中x、y之间的大小关系，是更普遍存在的状态。不等式尤其在解决“最值”问题上具有广泛的应用。不等式蕴含的思想
（一）模型思想与相等现象相比，不等现象是现实世界中更为普遍的现象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。
方程借助用字母表示数的代数思想，将未知数同已知数一起描述问题的代数表达形式，形成了方程的基本思想。
方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：一是模型思想，二是化归思想。学习方程内容最主要的事情集中在两个方面。一方面是建模，另一方面是会解方程。关于方程建模大自然的许多客观规律都表现为量与量之间的某种关系，将它表示出来往往就是一个方程式。初中方程的教学不能过分地停留在数学层面上必须使学生真正体会到数学与现实生活密不可分的联系。体会方程是一种用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。必须学会抽象将关系抽象为数学符号。
方程设计思想的思路先进行生活中的提炼，然后到数学表达，到形式化的方程，再到最终解决方程问题。
初中数学方程的常见解法：换元法、因式分解法、图像法、求根公式法。
等式与方程的关系建立方程是借助等式作为其上位概念来完成的。方程是一种特殊的等式，是在说明相等是怎么回事，等式可以是数字之间的相等，可以是恒等，而方程刻画的可以是两件事情之间的相等，可以是有条件的相等，也可以使一种随机的相等。不等式
学习的意义不等式可以表示一种界限，本身就是一种规律。其次，研究不等式可以导致等式。最后，不等式在几何上可以表示一个区域。
不等关系与相等关系既是矛盾独立的，也是相互统一的。不等关系往往可以等价地转化为相等关系加以解决。
不等式的含义两个实数或代数式用符号连接起来的所得到的式子叫做不等式。如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能够成立，这样的不等式叫绝对不等式，如果只用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能够成立，这样的不等式叫条件不等式。如果不论用什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，这样的不等式叫矛盾不等式。当不等号两边的解析式都是代数式时，称为代数不等式；两边的解析式至少有一个是超越式时，称为超越不等式。不等式解集表示方法
不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的过程叫解不等式。不等式组中每一个不等式解集的交集叫做不等式组的解集。
一个不等式的解集表示方法1数轴表示法即在数轴上把不等式的解集表示出来。2集合表示法即用集合来表示不等式的解集。3区间表示法即用区间来表示不等式的解
刻画不等现象的有力模型。通过分析实际问题中的数量关系，列出不等式，通过解不等式得到实际问题的答案，这就体现了不等式的模型思想。同时，这种模型经常与函数、方程联系在一起，三者都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，在解决实际问题时，要合理选择这三种重要的数学模型。（二）辩证思想通过c=a-b的媒介作用，不等式a>b与等式a=b+c建立了一种“等价”关系。这是一种辩证关系。恰当地运用这种思想可以轻松地化解相当多的问题。（三）数形结合思想根据题意可列出不等式组，运用数轴表示不等式组的解集，可以直观形象地解决问题。这种思想正是数形结合思想。函数
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
1755年，欧拉首次给出了函数变量定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面的变量变化时，前者的这些量也随之变化，则将前面的变量称之为后一些变量的函数。”由此演变为目前的函数的“变量说”黎曼在1851定义：“我们假定z是一个变量，如果对它的每一个值，都有未知量W的每一个值与之对应，则称W是Z的函数。”。1939年，布尔巴基学派主借用了笛卡儿积建立关系，进而定义函数：
1）对
中每一个元素
，存在
，使
；
（2）若且，则。函数记作：”分别称以上函数定义为变量说、对应说和关系说。函数概念的核心思想
数学的核心是研究关系，即数量关系、图形关系和随机关系。函数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系。其中有三点是重要的，一是变量的取值是实数；二是因变量的取值是唯一的；三是必须借助数字以外的符号表示函数。函数的表达方式一般有三种：解析式法，表格法，图像法。
解析式是最常用的方法，适用于表示连续函数或者分段函数。解析式有利于研究函数性质，构建数学模型，但对初学者来说也是抽象的。列表法适用于表达变量取值是离散的情况。利用图像法可以直观地表述函数的形态，有利于分析函数的性质，但作图是比较困难的，用何种方法表达函数可因题而议。中学数学研究的函数性质
数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。中学阶段主要研究函数的周期性，也涉及
奇偶性；在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性，也讨论某些函数的奇偶性。（一）函数的周期性周期性反映了函数变化周而复始的规律。是中学阶段学习函数的一个基本的性质。周期函数是刻画周期变化的基本函数模型，使我们集中研究函数在一个周期里的变化，了解函数在整个定义域内的变化情况。
（二）函数的奇偶性函数的奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研究的函数的性质，但它不是最基本的性质。奇偶性反应了函数图形的对称性质，可以帮助我们用对称思想来研究函数的变化规律。
（三）函数的单调性单调性是讨论函数“变化”的一个最基本的性质。从几何的角度看，就是研究函数图像走势的变化规律。函数与其它内容的联系
（一）函数与方程用函数的观点看待方程可以把方程的根看成函数与x轴交点的横坐．解析几何的产生与发展
笛卡尔提出了平面坐标系的概念，实现了点与数对的对应，将圆锥曲线用含有两面三刀个求知数的方程来表示，并且形成了一系列全新的理论与方法，解析几何就这样产生了。现代几何的产生与发展
人们不断发现《几何原本》在逻辑上不够严密之处，在尝试用其他公理、公设证明第五公设“的失败，促使人们重新考察几何学的逻辑基础，并取得了两方面的突出研究成果。初中数学课程中的几何学内容
（一）直观几何几何学是其中研究“形”的分支。几何图形可以直观地表示出来，人们认识图形的初级阶段，主要依靠形象思维。“形象思维”也就是强调几何直观。
（二）演绎几何几何图形本身具有抽象性和一般性，一种几何概念可能包含无限多种不同的情形，因此，研究图形的形状、大小和位置关系时，不能仅仅依靠直观实验的方法，标，即零点的横坐标。方程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了求函数图形与x轴的交点问题。
（二）函数与数列数列是特殊的函数。它的定义域一般是指非负的正整数集，有时也可以为自然数集，或者自然数集的子集。数列通常称为离散函数。等差数列是线性函数的离散化，而等比数列是指数函数的离散化。
（三）函数与不等式我们首先确定函数图像与x轴的交点（方程f(x)=0的解），再根据函数的图像来求解不等式。
（四）函数与线性规划是最优化问题的一部分，从函数的观点看，首先，要确定目标函数，用目标函数来刻画“好、坏”或“大、小”等，接着，需要确定目标函数的可行域。最后，讨论目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题。
解线性规划问题，可归结为以下算法：第一步，确定目标函数；第二步，确定目标函数的可行域；第三步，确定目标函数在可行域内的最值。函数模型
函数是对现实世界数量关系的抽象，是建立思想模型的基础，具有良好的普适性和代表意义。现实生活中，普遍存在着最优化问题----最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数建模的思想进行解决。在运用一次函数知识和方法建模解决时，有时要涉及到多种方案，通过比较，从中挑选出最佳的方案。
在实际的教学中，除了使学生了解所学习的函数在现实生活中有丰富的“原型”之外，还应通过实例介绍或让学生通过运算来体验函数模型的多样性。
通过实例，让学生体会、感受数据拟合在预测、规划等方面的重要作用，使学生们学会用数学的知识、思想方法、数学模型解决实际问题，提高运用数学的能力．要鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例进行探索实践．第二章图形与几何四个基本阶段。
实验几何的形成和发展
人们在观察、实践、实验的基础上积累了丰富的几何经验，形成了一批粗略的概念，反映了某些经验事实之间的联系，形成了实验几何。理论几何的形成和发展
柏拉图把逻辑学的思想方法引入几何学，确立缜密的定义和明晰的公理作为几何学的基础，欧几里德按照严密的逻辑系统编写的《几何原本》奠定了理论几何的基础。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括逻辑推理。
以一些原始概念和公理为出发点，逐步对一些几何概念做比较逻辑化的描述，进行一些基本推理和论证。虽然也借助直观和少量代数公理，但是，主要立足逻辑进行几何概念及其性质的分析研究，这就是演绎几何。
（三）度量几何对一些图形进行度量，包括长度，面积，体积，角度等，适当的延伸。（四）变换几何也叫运动几何。这个领域主要讨论平移、旋转、反射等刚体运动，以及相似变换、拓扑变换，并借以研究图形的全等、对称等概念，了解变换之下的不变量。（五）坐标几何即解析几何。在解析几何中，首先是建立坐标系。坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。
经验几何所谓经验几何，通常是直观几何、实验几何的通称，它特别关注学生几何活动经验的积累，以及几何直觉的发展。经验几何的作用
几何学是研究现实世界物体的形状、大小和位置关系的学科,而后发展成为研究一般空间结构、图形关系的学科。
（一）经验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用，而论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用。（二）经验几何是学习推理论证几何的必要前提。
学习的内容是由非形式化的推理逐渐提升到形式化的推理，透过直观几何与实验几何的充分学习，对几何对象的熟悉及非形式化的推理，达到知觉性的了解、操作性的了解，进而形成几何推理。
另一方面，我们用来作为推理基础的几何性质，一部分是利用实验归纳的方法得来的，另一部分则是利用已知的几何性质进行“推论”而导出的结果。
（三）实验几何是几何学习的一个阶段和一种认知水平，更是一种几何学习方法。总之，实验几何作为几何学习的一个阶段，在学生几何学习过程中起到承上启下的衔接作用；同时，实验几何是贯穿从直观几何到论证几何学习的一种有益于发现真理、几何直观几何直观具有发现功能，同时也是理解数学的有效渠道。数学概念经过多级抽象充分形式化后，有必要以相对直观可信的数学对象为基础进行理性重建，从而达到思维直观化的理想目标和可应用性要求,这要求数学的直观与形式的统一，才使得数学的完美。
几何直观及其作用《数学课程标准》（修订稿）指出，几何直观主要是指利用图形描述
和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观对于学生的数学发展非常重要：
首先，几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用。对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使他们成为数学发现的向导，随着现代科技的发展，几何直观在计算机图形学、图象处理、图象控制等领域都有诱人的前景。
其次，几何直观是认识论问题，是认识的基础,有助于学生对数学的理解。
借助于几何直观、几何解释，能启迪思路,可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考一般地，周长指封闭曲线一周的长度。（二）面积
物体的表面是一个二维的图形，直观地感觉它所占有的区域具有一定的大小，对一个二维图形的表面进行度量以后，用一个“数”标志它的大小，称这个数为该图形的面积。人们约定，将边长为1米的正方形的面积规定为1平方米。
于是，对于边长为整数a米、b米的矩形，总可以将其剖分为若干个边长为1米的正方形，进而，这个矩形就由ab个单位正方形组成，从而，这个矩形的面积为ab平方米（整数）。如果矩形的边长A，B是无理数，而且仍用边长为1的正方形去度量，那么，还要使用极限过程，用一列有理数逼近无理数，an→A,bn→B。依据anbn→AB，以及有理数边长的矩形面积公式，最后得出，矩形的面积也是AB。
这个过程实际上论证了“边长相等的两个矩形的面积的比，等于它们不相等边的长度的的机会，揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。
最后，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。
直观几何主要包含哪些内容
以大量丰富的实例为背景，通过观察、操作来探索认识基本图形的性质。这些基本图形主要包括点、线、面、角、平行线、相交线、三角形四边形、圆等，除此之外，还包括尺规作图、视图和投影等。这些内容构成直观几何的重要组成部分。经验几何的具体研究内容
初中几何的主要课程教学目标在于，“积累几何活动经验，发展几何直观、空间观念，进一步感受几何推理的魅力，体会几何的美，初步掌握几何推理的基本形式”，而发展几何直观、积累几何活动经验、培养空间观念，则是经验几何的核心目标。按照初中阶段的经验几何认识过程的不同，通常可以将经验几何的学习内容，分成认识图形、进行立体图形与平面图形的转换、在运动与变换中研究几何图形的有关性质三部分。度量几何几何学起源于图形大小的度量。根据图形的维数，把度量一维图形大小的数称为长度，而将二维图形的大小用面积来表示，体积则是标志三维图形大小的数。线段长度是一切度量的出发点。
长度的含义线段“两端之间的距离”。所谓距离。罗兰德（Rowland）首先使用光栅测量一公尺长度中的波长数。1960年以后，用激光定义“米”。
目前，国际上采用的长度单位，是在1983年10月确定的，即第十七届国际权度大会重新把国际标准制（SI）中的长度单位──“米（meter）”定义为：光于299,792,458分之1秒内在真空中所走的长度，称为“米”。
如果可以用一个线段e衡量两条线段M，N，使得M，N都是e的整数倍，我们称两个线段M，N是可公度的。
辗转相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即较长的那个线段减去短的那个线段，如此辗转截取，直到两个线段一样长，这个长度就是公度量。古希腊的毕达哥拉斯学派，发现正方形的边与其对角线不可公度3.周长“圆、椭圆或其它闭合的曲线的周界长度。”
比”。
海伦-秦九韶公式
刘徽用割圆法求圆面积大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差越来越小，其极限值就是所要求的圆面积。印度圆取两个相等的圆，把它们等分成相同的若干个全等扇形，然后把它们沿半径剖开（但扇形的圆弧仍然连着）、展平成锯齿条形然后，把两个锯齿形互相嵌入即成一个近似的矩形。份数分得愈多，其结果愈接近矩形，这个矩形的高为圆半径r，底为圆周长c，面积为rc，从而得圆面积为.体积是指物质或物体所占空间的大小。
（1）直接度量法。把一种叫做“单位正方体”的空间图形尽可能地堆放在要度量的几何体内，如果被度量的几何体恰好被a个正方体填满，那么这个几何体的体积就等于几个单位体积。（2）间接度量法。量出被度量的几何体中某些线段的长度，再利用有关公式计算出这个几何体的体积。“面积公理”与测度公理
既然图形是一个集合，而相应的图形的面积是一个数，所以，面积是定义在“集合族”之上的一个函数。这个集合函数显然是非负函数，而且正方形的面积是1。当然，两个不重叠的图形之并的面积，必须等于两个图形的面积之和。最后，如果图形经过移动、旋转、反射，其面积应该不变。这些性质放在一起，就成为面积公理的内容。对于周长一定的矩形来说，边长相等时矩形面积最大，即正方形的面积最大。（2）对于面积一定的矩形来说，边长相等时矩形周长最小，即正方形的周长最小。事实上，这个结论可以推广为：在周长相等的情况下，越接近圆的图形面积就越大，如，第四节变换几何
变换就是一个集合到另一个集合的映射。几何变换、变换群的概念
几何变换，就是将几何图形按照某种法则或规律变成另一种几何图形的过程。它对于几何学的研究有重要作用。
变换群。实际上是满足一定条件的若干变换组成的集合：如果某种几何变换的全体组成一个群，就有相应的几何学，而讨论在某种几何变换群下图形保持不变的性质与不变量，就是相应几何学的主要内容。
在初等几何中，变换主要包括全等变换，相似变换，反演变换。
全等变换
如果从平面(空间)到其自身的映射，对于任意两点A、B和它们的像A/，B/总有A/B/=AB。则这个映射叫做平面（空间）的全等变换，或叫做合同变换。在平面内存在两种全等变换，第一种叫做正常全等变换第二种叫做反常全等变换（镜像全等变换）,它把一个图形变成与它反常全等的图形,即对于两个全等的图形上每两个对应三角形有相反的方向，并且每两个对应的有向角有相反的方向。相似变换，第一种叫做真正相似变换（正相似变换），第二种叫做镜像相似变换（负相似变换）。真正相似变换把一个图形变换成与它真正相似(正相似)的图形,即使得两个相似图形的每对对应三角形有同一的方向,每对对应角有同一方向。反演变换
在平面内设有一半径为R，中心为O的圆，对于任一个异于O点的点P，将其变从认知规律看，几何学习的基本途径,主要是四步：直观感知→操作确认→演绎推理→度量计算。
欧几里得与演绎几何
公理化方法渊源于几何学，而几何学起源于埃及。
希腊数学家欧几里得编成了《几何原本》一书。这本书内容丰富，结构严谨，对于几何学的发展和几何学的教学都起了巨大的作用，它被人们赞誉为历史上的科学杰作。欧几里得《原本》，原说有15卷，经后人多方面考证，公认只有13卷。欧几里得《原本》对于几何直观、演绎推理进行处理的利弊得失
《原本》作为教科书使用了两千多年。在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色。该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书，而后者也就很快在人们的记忆中消失了。在训练人的逻辑推理思维方面，换成该射线OP上一点P/，且使OP/OP=R，这个变换叫做平面反演变换。圆O叫做反演基圆，圆心O叫做反演中心或反演极，R叫做反演半径或反演幂，反演变换将过反演中心的射线变成自身，且在此射线上建立对合对应，它使位于圆内的点变成圆外的点,位于圆外的点变成圆内的点，反演中心变成平面内的无限远点。而反演圆上的点则保持不变。空间反演变换可以看作是平面反演变换绕反演基圆的直径旋转而得。反演变换下，将不过反演中心的直线或平面，分别变成过反演中心的圆或球面；将不过反演中心的圆或球面，分别变成另一个不过反演中心的圆或球面。反之，也成立。演变换是反向保角的，即使两线（或两面）所成的角度的大小保持不变，但方向相反。合同变换：平移，旋转，反射平移、旋转与反射的初步描述
图形相似的思想方法体现在图形相似的概念、性质和处理问题的手段之中。我们可以将其归结为如下五个方面：
（1）图形相似问题的核心往往在于三角形相似与成比例线段，体现出化归思想
（2）图形相似是反映大自然奥秘的`一个窗口，图形相似在自然、社会和人类生活中具有广泛的普适性。
（3）结构相同，即“同构”，是图形相似的重要特征之一。相似可以帮助我们从局部来研究整体。
（4）图形相似提供了认识三角形的另一个途径，三角形相似的判别方法可以强化我们对三角形构成元素的认识。
（5）借助必要的工具和手段是学好图形相似的必要前提。平面图形初等变换之间的关系
（一）平移、旋转、反射变换是全等变换
（二）平移、旋转都可以由若干次反射（轴对称）的复合而得到。
对于平移、旋转和轴对称（反射）来说，虽然三者都是全等变换，但是，容易发现，其中，轴对称（变换）更为基本。
（1）对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个对称轴互相平行，那么，这两次轴对称的结果等同于一次平移；
（2）对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个对称轴相交，那么，这两次轴对称的结果等同于一次旋转，旋转中心就是两条对称轴的交点。反过来，对一个图形实施一次平移，都可以通过连续的两次轴对称来替代完成；对一个图形实施一次旋转，可以通过连续的两次轴对称来完成。
（3）任意一个合同变换至多可表示为三个反射的乘积。第五节演绎几何《原本》比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。正因为如此，自本书问世以来，思想家们为之而倾倒。公正地说，欧几里得的这本著作是现代科学产生的一个主要因素。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西收集在一起而已。科学上的伟大成就，就其原因而言，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。可以肯定地说，这并非偶然。毫无疑问，像牛顿、加利略、白尼和凯普勒这样的卓越人物所起的作用是极为重要的。也许一些基本的原因，可以解释为什么这些出类拔革的人物都出现在欧洲，而不是东方。或许，使欧洲人易于理解科学的一个明显的历史因素，是希腊的理性主义以及从希腊人那里流传下来的数学知识。对于欧洲人来讲，只要有了几个基本的物理原理，其他都可以由此推演而来的想法似乎是很自然的事。因为在他们之前有欧里得作为典范。
欧几里得对牛顿的影响尤为明显。牛顿的《数学原理》一书，就是按照类似于《原本》的“几何学”的形式写成的。自那以后，许多西方的科学家都效仿欧几里得，说明他们的结论是如何从最初的几个假设逻辑地推导出来的。许多数学家，像伯莎德罗素、阿尔弗雷德怀特海，以及一些哲学家，如斯宾诺莎也都如此。同中国进行比较，情况尤为令人瞩目。多少个世纪以来，中国在技术方面一直领先于欧洲。但是，从来没有出现一个可以同欧几里得对应的中国数学家。其结果是，中国从未拥有过欧洲人那样的数学理论体系（中国人对实际的几何知识理解得不错，但他们的几何知识从未被提高到演绎体系的高度）。直到1600年，欧几里得才被介绍到中国来。此后，又用了几个世纪的时间，他的演绎几何体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓。
如今，数学家们已经认识到，欧几里得的几何学并不是能够设计出来的惟一的一种内在统一的几何体系。在过去的150年间，人们已经创立出许多非欧几里得几何体系。自从爱因斯坦的广义相对论被接受以来，人们的确已经认识到，在实际的宇宙之中，欧几里得的几何学并非总是正确的。便如，在黑洞和中子星的周围，引力场极为强烈。在这种情况下，欧几里得的几何学无法准确地描述宇宙的情况。但是，这些情况是相当特殊的。在大多数情况下，欧几里得的几何学可以给出十分近似于现实世界的结论。不管怎样，人类知识的这些最新进展都不会水削弱欧几里得学术成就的光芒。也不会因此贬低他在数学发展和建立现代科学必不可少的逻辑框架方面的历史重要性。爱因斯坦更是认为，“如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。”由此可见，《原本》一书对人类科学思维的影响是何等巨大。
从数学教育的角度看，欧几里得的逻辑结构是串联型而不是放射型的，《原本》的每一节都那么重要，一节学不好，继续前进的路就断了，更令人头痛的是它没有提供一套强有力的、通用的解题方法。主要解题工具是三角形的全等和相似，而许多几何图形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作辅助线，从而几何被公认为难学的一门课程。值得一提的是，欧式几何几乎是历次中外数学课程教学改革的焦点。《原本》几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。其中，最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼，甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。但是，改来改去，欧几里得几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。有人称之为“不倒翁现象”。这是因为，欧氏几何从数学的视角，提供了现实世界的一个基本模型，非常直观地反映了我们人类的生存空间，刻画了我们视觉所观察到的物体形状及其相互位置关系。所以，这个模型的基本内容是学生能够理解和掌握的，而且应用广泛的基础知识。它比三种几何的关系
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此，这三种几何都是正确的。在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。
义务教育阶段几何课程内容的基本定位义务教育阶段几何课程设计的特点简析义务教育阶段几何课程设计的特点与以往的综合几何课程设计风格相比，《数学课程标准》下的几何已经将直观几何和实验几何的触角伸向了小学低年级，同时欧氏几何的体系和内容整体上还是基本保留的。只不过，具体的要求有所降低了，这种降低一方面体现在对推理几何的难度要求有所限较适合中小学生学习，也有利于引导中小学生从形的角度去认识我们周围的物体和生活空间。
尽管欧氏几何仍然具有难以替代的学习价值，但在以往的教学中，它又确实逐步暴露出一些问题，例如，内容体系比较封闭，脱离实际，教学代价太大等等。①这些问题需要数学课程的设计者与数学教学的实践者共同去面对、去解决。一条途径是教学法方面的改进。首先是内容的精简与演绎体系的通俗化。如精选一些具有实用价值和对继续学习发挥基础作用的内容，打破封闭的公理体系，扩大公理系统，降低证明难度等等。其次是突出几何事实与几何应用，重视几何直观，以及合情推理对于演绎推理的互补作用等非形式化策略。另一条途径是，用近现代数学的观点，高屋建瓴地处理传统的内容。其中几何图形的运动变换观点就是这样的重要观点之一。
从国际上数学课程改革的历程来看，第二次世界大战以后，特别是在上世纪60年代的“新数学”改革的浪潮中，将运动观点引入几何，成了一种时尚。确实，图形的变换是研究几何问题的有效工具，引进变换能使图形动起来，有助于发现图形的几何性质。相关的许多实验，有的因观点太高而失败，但也有许多成功的尝试。特别是平移、旋转以及轴对称、中心对称等观念已被不少国家的中小学教材所吸收，并放在比较重要的位置。如果说，集合与对应思想的渗透，在某种意义上给传统算术与代数注入了新的血液，那么，运动变换观点的渗透，则在一定程度上给欧氏几何提供了更高的数学观点和更新的研究视野。
对第五公设是否独立的研究导致了非欧几何的发现。
非欧几何，即非欧几里得几何，是一门大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。罗巴切夫斯基几何
家罗巴切夫斯基发现非欧几何--罗氏几何为止，肯定了第五公设与欧氏系统的其余公理是独立无关的。黎曼几何
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。制，另一方面体现在，弱化了相似形和圆的证明部分。同时，弱化了的部分也还会在高中继续出现。
新理念下义务教育阶段几何课程设计的突出特点体现为：以“立体平面立体”为主要线索，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验学习的方法；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习。
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。
直观几何、实验几何课程设计特点与综合几何的差异
与综合几何相比，直观几何、实验几何有着更现实的意义和课程设计的特色：
1．不同的课程目标和价值取向
从课程设计的角度看，直观几何与实验几何更接近于认知发展取向的课程设计模式，而综合几何属于典型的学术主义价值取向的课程设计模式。
2．不同的教育学、心理学基础和不同的师生关系
以论证为主的综合几何课程设计，立足于行为主义心理学，主张师生之间建立“以教为主、以教促学”的师生关系。相比之下，直观几何、实验几何课程设计观认为，有意义的几何教学应当建立在学生的主观意愿和知识、经验基础之上，依赖学生的动手实践、自主探索和交流合作，教师在教学中的角色应该定位在学习的组织者、引导者和合作者、参与者，注意学生在学习中所处的不同文化环境、教室文化、社区文化、家庭文化及自身思维模式的共性与差异，师生之间、学生之间应该努力构建一种和谐、互动的新关系。
3．不同的课程设计风格
在课程论中，课程有学科型课程与经验型课程之分。除了学科型课程和经验型课程外，大多数课程介于两者之间。直观几何、实验几何属于典型的经验型课程，而综合几何属于典型的学科型课程。当前，我国实行的义务教育课程标准实验教科书大多介于学科型课程与经验型课程之间，只不过，有的更靠近后者，即比较“前卫”，而有的更靠近前者，“中规中矩”。
4．不同的教学要求
在直观几何、实验几何课程实施过程中，学生的直观感受和几何活动经验是学习的基本出发点和必不可少的载体，而且直观教学变得十分重要。在这种课程设计时，有的是在抽象的学科主线中不断闪现出内容丰富的情景问题，有的是把丰富的情景问题沿几何的主线逐步镶嵌与展开。几何学是研究平面图形的形状、大小和位置关系的科学，培养和提高学生识图、作图能力是学好几何的必要环节。因而，在直观几何、实验几何课程设计模式下，采用直观教学至关重要，可使学生一开始便进入到直观教学所创设的情尽管全国初中数学课程标准实验教科书彼此之间都有差异，但是，发展几何直观与推理
能力是普遍趋势。第三章统计与概率
准确理解数学、概率、统计之间的关系
（一）研究问题的出发点不同数学研究的对象是从现实生活中抽象出来的数和图形。数学研究问题必须有定义，即数学研究问题的出发点是定义，没有定义无法进行数学的研究。统计研究所依赖的是模型，构建一些模型的基础上进行研究。但是，统计与数学有着密切的联系，我们拿来数学的很多知识、思想方法作为统计分析的工具。
（二）研究问题的立论基础不同从数量和数量关系这个角度考虑，数学是建立在概念和符号的基础上的。而统计学是建立在数据和模型的基础上，虽然概念和符号对于统计学的发展也是重要的，但是统计学在本质上是通过数据和模型进行推断的。
境之中，耳濡目染，受到感染，教师若采用图片直观，便可展现情景，给学生以鲜明生动的形象，学生的注意力很快被吸引到图片所展示的情境中。如何理解初中几何及推理
新理念下义务教育阶段几何课程设计的突出特点体现为：以“立体平面立体”为主要线索，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验（几何课与实际活动课有天然的联系）学习的方法（即“操作”+“推理”）；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习。
初中阶段属于从直观几何、实验几何逐步过渡到综合几何、论证几何的关键阶段，七年级仍是直观几何、实验几何，但包含一点点说理，而九年级已经是综合几何、推理几何，虽然其公理体系与欧式公理体系有所不同。
在义务教育数学课程标准下，“图形与几何”主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。
在“图形与几何”的核心课程教学在于：帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。
如何理解初中几何的核心目标发展几何直观与推理能力
在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实出发，按照规定的法则证明结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。基于此，《数学课程标准》把认识或把握空间与图形作为主旋律，以图形的认识、图形与变换、图形与位置（坐标）、图形与证明四条线索展开空间与图形的内容。
（三）研究问题的方法不同与概念和符号相对应，数学的推理依赖的是公理和假设，是一个从一般到特殊的方法，而统计学的推断依赖的是数据和数据产生的背景，强调根据背景寻找合适的推断方法，是一个从特殊到一般的方法。
（四）研究问题的判断原则不同数学在本质上是确定性的，它对结果的判断标准是对与错，从这个意义上说，数学是一门科学，而统计学是通过数据来推断数据产生的背景，即便是同样的数据，也允许人们根据自己的理解提出不同的推断方法，给出不同的推断结果，统计学对结果的判断标准是好与坏，从这个意义上说，统计学不仅是一门科学，也是一门艺术。
数理统计方法的基本步骤建立数学模型，收集整理数据，进行统计推断、预测和决策。当然，这些环节不能截然分开，也不一定按上述次序，有时是互相交错的。
（1）模型的选择和建立。模型是指关于所研究总体的某种假定，一般是给总体分布规定一定的类型。建立模型要依据概率的知识、所研究问题的专业知识、以往的经验以及从总体中抽取的样本。
（2）数据的收集。其方法主要包括全面观测、抽样观测和安排特定的实验3种方式。全面观测又称普查，即对总体中每个个体都加以观测，测定所需要的指标。抽样观测又称抽查，是指从总体中抽取一部分，测定其有关的指标值。这方面的研究内容构成数理统计的一个分支学科。叫抽样调查。
（3）安排特定实验以收集数据，这些特定的实验要有代表性，并使所得数据便于进行分析。
（4）数据整理。目的是把包含在数据中的有用信息提取出来。一种形式是制定适当的图表，如散点图，以反映隐含在数据中的粗略的规律性或一般趋势。另一种形式是计算若干数字特征，以刻画样本某些方面的性质，如样本均值、样本方差等简单描述性统计量。
（5）统计推断。指根据总体模型以及由总体中抽出的样本，做出有关总体分布的某种论断。数据的收集和整理是进行统计推断的必要准备，统计推断是数理统计学的主要任务。
（6）统计预测。统计预测的对象，是随机变量在未来某个时刻所取的值，或设想在某种条件下对该变量进行观测时将取的值。
（7）统计决策。依据所做的统计推断或预测，并考虑到行动的后果而制定的一种行动方案。初中统计与概率的课程内容主要内容包括：
描述统计的进一步扩展----描述统计的基本目标在于以最简单而直观的形式最大限度地容纳有用的数据。
渗透数理统计思想----数理统计与描述统计的根本区别在于总体与样本概念的引入，它的基本思想是通过对样本的分析来推断总体的特性。这部分的一个核心的内容是抽样，如何抽样、抽样的过程、样本的多少是收集数据的一个关键问题。学习概率的初步内容-----包括运用列表、画树状图、制作面积模型、简单计算等方法得到一些事件发生的概率；通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值；通过大量丰富的实例，进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际的问题。
普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查.总体：所考察对象的全体称为总体。个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查。样本：从总体中抽取部分个体叫做总体的一个样本。样本容量：样本中个体的数量叫样本容量。随机事件和样本空间
在一定条件实现后，可能产生也可能不产生的现象，人们称之为随机现象。具备以下三个特点的试验称为随机试验：
信息。众数只与其在数据中重复的次数有关，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的数据信息，而且当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。数据的离散程度
极差是指一组数据中的最大值减去最小值所得的差。它可以反映一组数据的变化范围。方差是指一组数据中的平均数与每一个数据之差的平方和的平均数。
样本数据的方差和标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。加权平均数的概念
加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算，即一组数据的每个数乘以它的权重后所得积的总和。平均数称之为算术平均数，是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，
(1)可在相同条件下重复进行；
〔2)每次试验可出现不同的结果，最终出现哪种结果，试验之前不能确定；
(3)事先知道试验可能出现的全部结果。随机事件随机试验的每一个可能的结果称为一个随机事件
样本空间由样本空间的子集可描述随机试验中所对应的一切随机事件。数据的收集
数据收集方法有两种：调查和实验。在现实生活中原来就有的数据，人们通过调查获得，例如，普查，即为一特定目的而对所有考察对象的全面调查；抽样调查，即为一特定目的而对部分考察对象作调查。三种常用抽样方法是：随机抽样法、分层抽样法和系统抽样法。
数据的随机性主要有两层涵义：
一方面，对于同样的事情，每次收集到的数据可能会是不同的；
另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据的整理和分析
数据分析观念主要体现在三个方面：
第一，了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴含着信息的；
第二，了解对于同样的数据可以用多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；
第三，通过数据分析体验随机性。
理解两种估计方法，一种是用样本的频率分布来估计总体的分布，另一种是用样本的集中趋势（平均数、中位数、众数）和离散程度（极差、方差、标准差）来估计总体的集中程度和离散程度。频数和频率
我们称每个对象出现的次数为频数，也称次数。频数也称“次数”，对总数据按某种标准进行分组，统计出各个组内含个体的个数。而频率则每个小组的频数与数据总数的比值。数据的集中趋势在统计学中是指一组数据向某一中心值靠拢的程度，它反映了一组数据中心点的位置所在。反映数据集中趋势的度量包括平均数、中位数、众数等。平均数一组数据的平均数就是用这组数据的总和除以这组数据的总个数得到的值。中位数，就是将这组数据从小到达排列后，位于正中间的数（或中间两个数的平均数）。众数，是指一组数据的众数就是这组数据中出现频数最多的数。平均数、中位数和众数的联系与区别
联系：从不同角度描述了一组数据的集中趋势。区别：计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分利用数据所提供的信息，但容易受极端值的影响。它应用最为广泛。中位数的优点是计算简单，只与其在数据中的位置有关。但不能充分利用所有的数据当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数。
统计表不仅反映某一类事物的具体数据，而且还能说明有关数据之间的关系。统计图是借助于几何线、形(线段、长方形、三角形、圆形等)以及事物的形象等形式，显示收集到的数据信息，直观地反映其规模、水平、构成、相互关系、发展变化趋势和分布状况，即是根据统计数据所绘制的图形。条形图是以简单的几何图形，即等宽条形的长短或高低来比较数据所隐含信息的统计图示法分为单式条形图、复式条形图、分段条形图、对称条形图、距限条形图、累积条形图等。
直方图有两种，频数直方图和频率直方图。频数直方图与频率直方图既有联系，又有区别。
扇形图用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图。扇形图能直观地、生动地反映各部分在总体中所占的比例。
扇形统计图具有四个特点：
一是利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，
二是圆代表总体，各个扇形分别表示总体中不同的部分；
三是扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，
四是各个扇形所占的百分比之和为1；最后，在不同的统计图中，不能简单地根据百分比的大小来比较部分量的大小。折线统计图
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，折线统计图不但可以表示出数量的多少，还能够清楚地表示出数量的增减变化情况，并且可以进行简单的预测。折线统计图可分为单式折线图或复式折线图。统计是对随机现象统计规律归纳的研究，而概率是对随机现象统计规律演绎的研究，在解决实际问题时，二者是相辅相成、互相关联的
随机事件的概率，实质上是指在客观世界中，这个事件发生可能性大小的一个数量刻画。
概率的定义
频率是指事件发生的次数在全部试验次数中占的比例，所以频率能够反映该事件发生的可能性大小。即一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是趋近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).概率的公理化定义样本点全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正确理解随机性与概率
（1）随机性和规律性。
（2）概率和机会。从某种意义说来，概率描述了某件事
情发生的机会
（3）有些概率是无法精确推断的。
（4）有些概率是可以估计的。随机结果也具有规律，而且有可能通过试验等方法来推测其规律。我们就是要通过观测数据，在随机性中寻找用概率和数学模型描述的规律性
小概率原理是统计检验（统计中的反证法）的基础和依据。小概率原理是指在一次试验中，小概率事件几乎不可能发生。《数学课程标准》认为，“统计与概率”应当是初中课程内容的重要组成部分。不仅如此，《数学课程标准》将“统计与概率”内容从第一学段连续编排到初中，并且规定，在初中，学生将从事数据的收集、整理与描述的过程，体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。《大纲》没有涉及“概率”内容，仅仅在初中阶段引入“统计初步”，并且将“统计初步”放入“代数的第（十三）部分”在《大纲》中，“统计初步”的定位是：使学生了解统计的展这一活动，有以下几个步骤：
第一，学生观察一件物体或一种现象，或者操作某些学具。
第二，学生在研究所观察的物体或现象的过程中进行思考，与同伴进行讨论和交流，以弥补他们在单纯的观察和操作活动中的不足。
第三，老师按一定的顺序给学生们推荐活动，学生可从中作出选择并实施这些活动，学生在选择中有较强的自主性。
第四，这一活动可以以课内外相结合的形式进行，学生每周至少花两个小时进行同一个主题的活动，并应保证这些活动在整个学习进程中的持续性和稳定性。
第五，每个学生都记录活动过程。通过这一活动，学生逐渐学会操作，同时加强和巩固口头和书面表达能力，发展解决问题的能力，增进对数学的理解力。如何理解数学研究性学习
思想，掌握一些常用的数据处理方法，能够用统计的初步知识解决一些简单的实际问题。简单的平均数和加权平均数
所谓加权平均数，是指各个数据的“份量”不同，有的重要些，有的轻些，将它们的重要性用“权重”表示，即加上各个数据在全体数据中占有的比例（频率）再作和。数学期望的定义事前预期的好处，就叫做这件事情的期望值。第四章实践与综合
设置“实践与综合”领域目的在于体现其桥梁作用（即，数学不同领域之间的桥梁作用以及数学与外部之间桥梁作用）和综合价值，综合运用数学知识、技能、思想、方法等解决现实问题，帮助学生积累直接的数学活动经验，发展学生的综合能力。关于“实践与综合”的教育价值和课程目标
教育价值实践与综合领域的存在，沟通了现实世界中的数学与课堂上的数学之间的联系。另一方面，综合应用数学解决问题也必将给学生的学习方式带来改变。使学生发展了意志力、自信心和不断质疑的态度，发展了运用数学进行思考和交流的能力。
课程目标《全日制义务教育数学课程标准》对这个领域的课程设计提出了的总的要求：帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。“实践与综合”在不同阶段不同的呈现形式第一学段以“实践活动”为主题，第二学段以“综合应用”为主题，第三学段(即初中阶段)以“课题学习”为主题。
在初中数学中，课题学习的主要形式有三种基本方式：
数学小调查。数学小调查是指学生在教师指导下，从学习生活和社会生活中选择和确定调查专题，主动获得信息、分析信息并做出决策的学习活动。数学调查可以包括三个阶段，第一，进入问题情境阶段；第二，收集信息的阶段；第三，表达和交流阶段。这种活动具有开放性、问题性和社会性的特点。
小课题研究。活动基本过程如下：各小组确定活动目标；根据目标确定本组活动内容；在老师指导下实际调查。合作交流。
动手做(Handson)的活动。意思是动手活动，目的在于让学生以更科学的方法学习知识，尤其强调对学生学习方法、思维方法、学习态度的培养。基本过程是：提出问题动手做实验观察记录解释讨论得出结论表达陈述。具体地说，开
数学研究性学习主要针对我国中学教育中出现的若干弊端，为实施以创新精神和实践能力为重点的素质教育而提出来的，其根本目的是让学生亲历研究过程，获得对客观世界的体验和正确认识，通过自由、自主的探究过程，综合性地提高整体素质和能力。因此，研究性学习的重点在“学习”，研究是手段、途径，而不是目的。数学研究性学习的内涵
以培养学生的数学创新意识和实践能力为目的，它主要通过与数学学科内容相关的课题，在教师的指导下，学生为主体地参与、体验问题提出和解决的全过程。使学生不但发展了思维能力，而且逐渐领悟到数学科学研究的基本过程和方法，提高学生的科数学研究性学习的目的
1.让学生经历科学研究的过程，获得亲身参与研究和探索的体验。
2.了解科学研究的方法，提高发现问题和解决问题的能力。
3.学会与人沟通和合作，学会分享。合作的意识和能力，是现代人所应具备的基本素质，而研究性学习提供了一个有利于人际沟通与合作的良好空间。
4.增强探究和创新意识，培养科学态度、科学精神和科学道德。在研究性学习的过程中，学生不可避免地会遇到一系列的问题和困难，学生必须学会从实际出发，通过认真踏实地探究，事实求是地得出结论，并且养成尊重他人的想法和成果的正确态度，同时培养不断追求的进取精神、严谨的科学态度、克服困难的意志品质等。
5.培养学生对社会的责任心和使命感形成积极的人生态度。
6.促进学生学习，掌握和运用一种现代学习方式。
7.激活各科学习中的知识储备，尝试相关知识的综合运用。8.促进教师教学观念和教学行为的变化，提升教师的综合素质，培养学生创新精神和实践能力，推进素质教育的全面实施。
初中数学研究性学习主题分为建模探究型、图表探究型、调查探究型、开放探究型四种类型。
（1）建模探究型：以学生动手操作、合作探讨、设计制作模型为主，教师给予指导、总结、评价。
（2）图表探究型：以学生观察、分析数学图表、探究解决问题的方法为主，教师提示结合相关知识分析、探究、解决问题。例如，数学图表的制作：“制作人口图”。
（3）开放探究型：以学生自主分析、小组讨论交流、大胆猜想、探究论证为主，教师给予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味数学问题：猜想、证明、拓广。
（4）调查探究型：以学生调查实践、自主分析、探究实践的方式和方法为主，教师适时引导、提示、总结。数学研究性学习的特点
1.探究性。探究是人类认识世界的一种基本方式，处于基础教育阶段的初中生对外部
世界仍充满强烈的新奇感和探究欲，数学研究性学习正好适应学习者个体发展的需要和认识规律。
2.全员参与性。研究性学习主张全体学生的积极参与，它有别于培养天才儿童的超常教育。全员参与的另一层含义是共同参与。研究性学习的组织形式是独立学习与合作学习的结合，其中合作学习占有重要的地位。
3.开放性。数学研究性学习是一种开放性、参与性的教学形式，为了研究有关生活中的数学问题或从数学角度对其它学科中出现的问题进行研究。
4.过程性。要求学生把自己所得出的结论运用到现实生活中去，解决现实生活中涉及到的数学问题，强调学生参与的过程。
5.应用性。学以致用是研究性学习的又一基本特征。研究性学习重在知识技能的应用，而不在于掌握知识的量。
6.体验性。研究性学习不仅重视学习过程中的理性认识，如方法的掌握、能力的提高等，还十分重视感性认识，即学习的体验。数学研究性学习的实施保持和进一步提高学习数学的积极性。
（3）在实施过程中，要采取有效的手段对学习活动进行监控；指导学生写好研究数学日记，及时记载研究情况，真实记录个体体验，为以后进行和评价提供依据。
（4）要争取家长和社会有关方面的关心、理解和参与，与学生一起开发对实施研究性学习有价值的校内外教育资源，为学生开展研究性学习提供良好条件。
（5）能够根据学校与班级实施研究性学习的不同目标定位和主客观条件，在不同时段选择不同的切入口，形成不同年级的操作特点。
数学模型一般是指由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象(原型)数量规律和空间特征的数学结构。数学模型可以叙述为：对于现实世界的一个特定对象，为了实施要求：
①全员参与，而非只关注少数数学尖子学生竞争，给每个学生有锻炼与参与的机会；
②任务驱动。要向学生提出有明确具体要求的任务，发挥它对学生学习过程的引导作用；
③重在学习过程而非研究的结果；
④重在知识技能的应用而非掌握知识的数量；
⑤重在亲身参与探索性实践活动，获得感悟和体验，而非一般地接受别人传授的经验；
⑥形式上灵活多样，强调课内外结合。数学研究性学习模式有三种：
（1）理论实践模式。是指师生在共同学习研究性学习理论的基础上，学生运用数学理论来研究、解决数学问题，体验研究性学习课程理论的价值，提高综合能力的一种教学模式。
（2）数学问题探讨模式。师生围绕数学问题的分析与探讨展开的教学活动，构成了问题探讨教学模式。其基本理念在于：以激励、强化学生在教学过程中的主体参与意识为着眼点，以帮助学生学会学习，学会发现和分析问题，培养学生创造性解决问题的能力为宗旨，创设一种开放而又活泼的学习氛围。其教学策略是：将问题或案例呈现给学生，引导学生共同探讨，构建师生平等、互动的学习环境。
一般来说，教师要选择典型的数学问题或案例，不可平铺直叙地搬给学生，而要创造性地加以取舍，主动设疑，引导学生学会思考，提高学生的学习数学能力。
（3）数学课题研究模式。数学课题研究模式是指教师提供课题或由学生根据兴趣设计研究课题，并在教师的指导下自主探索、实施研究计划、完成课题目标、提高社会实践能力的一种教学模式。
组织形式有三种类型：小组合作研究、个人独立研究、全班集体研究。其中一致认为小组合作研究是最基本、最有效、经常被采用的一种组织形式。数学研究性学习实施的一般程序
一般可以分为三个阶段：
（1）进入问题情境阶段（准备阶段）。主要任务是背景知识的准备；指导学生确定数学研究课题；组织课程小组、制定研究方案。
（2）实践体验阶段（实施阶段）。本阶段学生要进入具体的解决问题过程。
（3）表达交流阶段（结题阶段）。学生将自己或小组经过实践、体验所取得的收获进行归纳整理、总结提炼，形成书面或口头报告材料，得出结论，并进行成果交流和总结反思。数学研究性学习实施中的教师指导
（1）在初中不同的学段和年级，教师的指导工作内容和方法应该有所不同。
（2）在数学研究性学习实施过程中，教师要及时了解学生开展活动的情况，有针对性地进行指导、点拨；要组织灵活多样的交流、研讨活动，促进学生自我教育，帮助他们
一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模教学的目
使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心；使学生学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神；使学生学会以数学建模为手段，激发学习数学的积极性，团结合作，建立良好的人际关系、相互合作的工作能力；以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实以及基本的思想方法和必要的应用技能。数学建模的教学意义
1.培养学生合作学习的能力合作能力是信息社会中每个人必须具备的基本素质。
2.培养学生处理信息的能力数学建模活动则为学生学习如何选择信息、获取信息和加工信息提供了一个有效的途径。
3.有利于学生形成正确的数学观数学建模活动的开展使学生形成正确的数学观成为可能。
4.有利于学生体验数学与生活、数学与其它学科的联系
5.激发学生的数学学习兴趣
6.发展学生的创新意识数学建模的具体实施1.选题
鼓励学生自主提出问题，可以从以下几个方面人手：
①让学生了解选题的重要性和基本要求，
②指导学生结合自己的生活经验寻找课题，也可由教师介绍往届学生的选题并加以点评，或者请本班同学介绍自己的选题计划，教师和学生一起分析其可行性，
③教师创设一个问题环境，引导学生自主提出问题、确定课题。这时教师的指导应该是有启发性的，不要代替学生确定课题，而是启发学生自己去延展、开拓问题链，让学生自己提出要解决的问题和解决问题的方案。
2.实施
在课题学习的实施中，我们强调开放学生的思维，强化过程体验，师生和生生的情感交流和成果共享。
3.指导
在课题学习中，教师如何指导学生，这是一个令不少教师感到困惑甚至苦恼的问题。课题学习过程中，问题形式与内容的变化，问题解决方法的多样性、新奇性，问题解决过程的不确定性，结果呈现层次的丰富性，无疑是对参与者创造力的一种激发、挑战和有效的锻炼。教师在陌生的问题面前感到困难，失去相对于学生的优势是自然的、常常出现的。
4.评价
评价过程具体涉及以下几个方面：
①调查、求解的过程和结果要合理、清楚、简捷；
②要有自己独到的思考和发现；
③能够恰当地使用工具(如网络和计算工具)；
④采用合理、简捷的算法；
⑤提出有价值的求解设计和有见地的新问题；
⑥发挥每个组员的特长，合作学习得有效果。5.建立和扩张资源
对教育资源的认识应该走出静态的误区，要看到身边许多动态的教育教学资源。此外，通过查找相关的刊物和网站也可以发现大批的可用资源。我们还应有意识地建立自己个性化的信息资源库，它包括：前几届学生做的课题成果，如论文、研究报告、程序、制作的作品，以及活动过程的照片、研究课的录音或录像、其它学校学生的优秀成果等。生和发展而成。这种抽象可以脱离具体的实物模型，形成一种具有层次性的体系。形式化使用特定的数学符号来表示数学概念，使概念形式化。逻辑化在一个特定的数学体系中，孤立的数学概念是不存在的，它们之间往往存在着某种关系；这些关系称之为数学概念的逻辑关系。这种逻辑关系使得数学概念系统化、公理化。简明化数学概念具有高度的抽象性，借助数学符号语言，使得一定事物的本质简明的形式表现出来，这种简明化使人们在较短时间内领会。概念的外延与内涵
概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物。
一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延是指适合这个概念的一切对象，即符合这一概念所有对象的集合。换言之，是指这个概念的延用范围。一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵。概念的内涵是说一个概念所反映的事物培养学生的数学应用意识、数学应用能力
实际教学中要强调学生的自主探索、合作交流和操作实践等学习方式。
（1）充分发挥学生的主体性。在学习过程中，教师可以向学生推荐活动，让学生在选择中有较强的自主性；同时，让学生独立思考和合作交流，在此基础上教师进行有针对性的指导。
（2）强凋学生学习方法、思维方法、学习态度的养成，关注学生的学习过程。课题学习活动强调学生主动学习，不宜强调对知识的学习，而且更重要的是强调学生对学习方法、思维方法、学习态度的养成。
（3）创设恰当的问题情景，鼓励学生思考方法的多样化。在课题学习活动过程中，教师应当鼓励与尊重学生的独立思考，引导学生进行讨论与交流，培养学生良好的思考习惯和合作意识。鼓励算法多样化，对培养学生的创新意识与创新思维是十分必要的。
（4）对课题学习的评价应该以质的评价为主。一般说来，对学生实践与综合应用活动的评价要强调过程性评价。重点在于促进学生创新精神的培养和实践能力的提高，具备与人沟通及有良好的人际交往能力。而不是把学生贴上优秀、良好、不及格的标签。数学研究性学习的评价对建立学生发展性评价有哪些有益的启示
（1）研究性学习评价更重视过程。研究性学习评价学生研究成果的价值取向重点是学生的参与研究过程。
（2）研究性学习评价更重视理解中的应用。强调的是学生把学到的基础知识、掌握的基本技能，应用到实际问题的提出和解决中去既促进学生对知识价值的反思，又加深对知识内涵理解和掌握，形成知识的网络和结构。3）研究性学习评价强调学生在探究过程中的体验。
（4）研究性学习评价更重视全员参与。研究性学习的价值取向强调每个学生都有充分学习的潜能，为他们进行不同层次的研究性学习提供了可能性，也为个别化的评价方式创造了条件。第五章初中数学的逻辑基础
客观事物都有各自的许多性质，或者称为属性。经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，称为这种事物的本质属性。反映事物本质属性的思维形式叫做概念。数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系。反映数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念。数学概念具有抽象化、形式化等鲜明的特点。
抽象化数学概念反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性。有些可以直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来，而大多数概念排除对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性，甚至在已有数学概念的基础上，经过多级的抽象过程才产的本质属性。
概念的内涵和外延之间相互依存，二者是一对矛盾，共处于统一体的概念之中。它们之间有着相互依存、相互制约的关系。概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物。一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延。一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵。一个概念的内涵和外延分别从质和量两个方面刻划了这个概念，每个概念都是其内涵与外延的统一体．概念的内涵严格确定了概念的外延，反之，概念的外延完全确定了概念的内涵。概念的外延和内涵是主观对客观的认识，由于人们对客观事物的认识是发展变化的，概念的外延和内涵必然相应地发生变化，但是在发展变化的过程中有其相对的稳定性．在数学科学体系的确定的阶段，每一个数学概念的外延和内涵都是确定的，二者是相互确定的。初中数学概念的特点
1、初中数学概念并非都是通过定义给出的
2.初中数学概念的层次性数学概念本身具有层次性。
3.数学概念是理想概念
4.数学概念是“过程”与“对象”的统一体数学概念之间的关系
1.同一关系两个外延完全相同的概念之间的关系，叫做同一关系。同一关系，叙述上常用连接词“即”、“就是”等表示。在一个判断过程中，具有同一关系的两个概念可以互相代替。
2.交叉关系两个外延部分相同的概念之间的关系，叫做交叉关系.叙述上常用“有的”、“有些”等表示。
3.从属关系两个外延具有包含关系的概念之间的关系，叫做从属关系。其中外延范围大的概念A叫做上位概念或种概念，外延范围小的概念B叫做下位概念或类概念。4.矛盾关系两个概念的外延互相排斥，但外延之和等于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做矛盾关系。
5.对立关系两个概念的外延互相排斥，但外延之和小于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做对立关系。
把一个属概念分成若干个种概念，揭示概念外延的逻辑方法叫做概念的划分。在数学中常用划分把概念系统化。正确的划分应符合下列条件：
第一，所分成的种概念之间应是全异关系，即任两个种概念的外延的交集应是空集；第二，划分应是相称的，即是说所分成的全异种概念的外延的并集等于属概念的外延；第三，每次划分都应按照同一个标准进行。在一次划分中用不同的根据就造成了混乱；第四，划分不应越级。应把属概念分为最邻近的种概念
数学概念的定义与要求
定义是建立概念的逻辑方法人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义。定义的功能是为了明确讨论问题的对象。常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对象的本质属性。常用的定义方法:
1.“种+类差”定义法属概念加种差定义法就是，用被定义概念最邻近的属概念，连同被定义的概念与同一属概念下其它种概念之间的差别（即种差），来进行定义的方法。2.发生式定义法不直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法。
3.外延定义法这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法。真时，P假；当P假时，P真。
2.选言判断。选言判断是由两个或两个以上判断用连接词“或者”构成的判断，一般记成AVB，读作“A或B”。
3.联言判断。联言判断是用连接词“且”构成的判断，表明几个事物情况都存在，一般记成A∧B，读作“A且B”。4假言判断。假言判断又叫蕴含判断，它是判断P为另一判断Q存在条件的判断，P、Q分别叫做该假言判断的前件和后件(或题设和题断，条件和结论)，一般用“若……，则……”，或“如果……，那么……”的形式表示，记成P→Q。解命题的涵义
关于数学对象及其属性的判断叫做数学判断。判断要借助于语句，表示判断的语句叫命题。
4.约定式定义法由于某种特殊的需要，通过约定的方法来定义的。
5．关系定义法这是以事物间的关系作为种差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其他事物所不具有的特有属性。
此外，中学数学中还有描述性定义法(如现行中学数学中关于等式、极限的定义)、递推式定义法(如n阶行列式、n阶导数、n重积分的定义)，借助另一对象来进行定义(如借助指数概念定义对数概念)等等。定义数学概念的基本要求
1.定义应当相称。即定义概念的外延与被定义概念的外延必须是相同的，既不能扩大也不能缩小2.定义不能循环。即在同一个科学系统中，不能以A概念来定义B概念，而同时又以B概念来定义A概念。
3.定义应清楚、简明。定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的。所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出。
定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点。数学概念的形成
数学概念形成是从大量的实际例子出发，经过比较、分类，从中找出一类事物的本质属性，然后通过具体的例子对所发现的属性进行检验与修正，最后通过概括得到定义并用符号表达出来。
数学概念形成的过程有以下几个阶段：
1.观察实例。
2.分析共同属性。分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。
3.抽象本质属性。从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。
4.确认本质属性。通过比较正例和反例检验假设。确认本质属性。
5.概括定义。在验证假设的基础上，从具体实例中抽象出本质属性推广到一切同类事物，概括出概念的定义。
6.符号表示。
7.具体运用。使新概念与已有认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性联系。把所学的概念纳入到相应的概念体系中。
判断是人们对事物情况有所肯定或否定的比概念高一级的思维形式。判断是属于主观对客观的认识，因此，判断有真有假，其真假要由实践来检验，在数学中要进行证明。如实反映事物情况的判断，叫真判断；不符合事物情况的判断，叫假判断。在一个判断中，如果不包含其他的判断，叫做简单判断。简单判断又分为性质判断和关系判断。复合判断是由两个或两个以上的简单判断用连接词构成的判断。
1.负判断。负判断是用连接词“非”构成的判断，一般记为┑P，读作“非P”，当P如何理解命题的分类
所谓性质命题，是指断定某事物具有（或不具有）某种性质的命题。性质命题由主项、谓项、量项和联项四部分组成。关系命题关系命题是断定事物与事物之间关系的命题，关系命题由主项、谓项和量项三部分组成.复合命题命题真值的概念。
对于命题A、B，如果A是一个真命题，我们就说A的真值等于1，记成A=1；如果B是一个假命题，我们就说B的真值等于0，记成B=0。一个命题或真或假，而不能既真又假。因此，一个命题的真值只能是1或0，不能既为1，又为0，或非l又非0。
复合命题的分类
复合命题由于所采用的连接词不同，可分为下列五种形式。
否定式。给定一个命题A，用连接词“非”组成一个复合命题“非A”，
析取式。给定两个命题A与B，用连接词“或”组成一个复合命题“A或B”，合取式。给定两个命题A与B，用连接词“且”组成一个复合命题“A且B”蕴含式。给定两个命题A与B，用连接词“若……，则……”组成一个复合命题“若A则B”，记作AB
等值式。给定两个命题A与B，用连接词“等值”组成一个复合命题“A等值B”，记作“AB”公理与定理
不加证明而被承认其真实性的命题叫做“公理”。原始概念和公理是组成数学理论的主要基础。公理虽然不能加以证明，但有其合理性，它是从大量客观事物与现象中抽象出来的，符合客观规律。
任何公理体系都必须满足相容性、完备性和独立性。相容性是指该体系的各公理之间没有矛盾。完备性是指该分支的形成除了相应的公理体系外，不依赖于任何别的东西。独立性是指该体系中各公理是相互独立的，没有一个可以由其他公理推出。独立性对整个公理体系而言，具有锦上添花的作用。
经过证明为真实的命题叫做定理，可由定理直接得出的真命题叫做推论。推论和定理的含义没有什么本质的区别。一个定理的逆命题、偏逆命题都未必为真，如果证明了是真实的，则分别称为原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式逻辑的基本规律
1.同一律：在同一时间、同一地点、同一思维的过程中，所使用的概念和判断必须确
定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有两点具体要求：一是思维的对象应保持同一。二是表示同一事物的概念应保持同一。
2.矛盾律：在同一时间，同一地点，同一思维的过程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思维过程中的两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。
3.排中律：在同一时间、同一地点、同一思维的过程中，对同一对象，必须作出明确的肯定或否定的判断。即在同一思维过程中，两个互相矛盾的概念或判断不能同假，必有一真，而排除第三种可能。公式是：A∨，即A或。
排中律和矛盾律既有联系，又有区别。其联系在于：它们都是关于两个互相矛盾的判断，都指出两个矛盾判断不能同时并存，其中必有一个是假。但如何进一步确定谁真谁假，它们本身都无能为力，只有借助其他知识，进行具体分析，才能正确地予以回答。3．演绎推理是一种由
小学数学培训总结2
光阴似箭，转眼之间五天的培训已经结束了，留下很多感悟总结如下：
“兴趣是最好的老师”
听了九位专家的讲座，发现了他们之所以成为名师、专家都有一共同的规律：就是都喜欢教师这个职业，并且把教师这种职业作为自己毕生的事业来做。他们的成功告诉我们一个事实，那就是“兴趣是最好的老师”。这给了我很大的启迪，首先教会我要更加喜欢教师这个职业，才能可能一位合格的人民教师；其次，让我明白教授学生最好的学习方法是让学生对所学习科目产生兴趣。
“三人行必有我师”
教体局请的每位名师、专家的课都很精彩，从中都能学到很多东西，但对我印象最深刻、影响最大的是薛跃娥老师的讲座。你可以说她的学历不高，可以说她的文笔不美，她的声音不动听，但她的每句话都是发自肺腑的，她所做的每件事都是真实的，这就是真情的力量。这种力量是无穷的，以至于在场的每位新教师都感动的流泪，一句话感动来自真实。
听了薛老师的.讲座后，内心下定决心今后一定要做一个像薛老师一样的好老师。我感觉现在我们新教师缺的不是知识更不是能力，而是一种持续的向着既定目标前进的动力和毅力。孔子曰：“三人行必有我师”，我想作为一位即将走上工作岗位的新教师，应该向每一位教师学习，那怕是职位比自己要低的人、知识不如自己丰富的人。只有这样，才可能有所进步，才可能成为一位出色的人民教师，才不愧“人类灵魂的工程师”的称号。
“逆水行舟，不进则退”
进入21世纪以来，知识的更新之快达到了前所未有的程度，每隔四五年所有的知识就要重新更新一遍。正如一位培训教师所讲的那样：“要想做一位优秀的人民教师就要时刻提醒自己学习，不断更新自己的知识储备，只有这样才能跟上时代的脚步，才能不做“新时代的文盲”。很多专家认为：“新时代的文盲不是不懂知识，而是不学新的知识”。我想，作为新时代的新教师，不仅自己要有一桶水，更重要的是要有一桶渊源流动的“活水”，这样才能教育好学生，才能用自己的“一桶水”引流给学生“一缸水”，乃至一条奔流不息的河流。一句话概括新时代的教师面临的命运选择，正如“逆水行舟，不进则退。”
总之，通过这次培训，使我深刻意识到：自己的知识、能力与各位名师、专家之间的差距是巨大的。所以，只有重新踏上新的起跑线，通过自己一步步的努力，不断的学习，不断的充实自己，才能立足这个教育飞速发展的时代，才能不断提升自己社会的价值，为我国的教育事业的蓬勃发展做出自己应有的贡献。
小学数学培训总结3
这次我有幸参加了为期一个月的“小学骨干教师”培训班学习。我深知参加本次培训对自己来说意味着什么，虽然天很冷，也很辛苦，但我珍惜这次学习的每一天，不放过学习过程中的每一个环节，自始至终，我都在努力地学习，力争做到不辜负学校领导的期望。在学习过程中我慢慢地认识到了自己的贫乏与稚嫩，学习又逐渐地使我变得充实与干练。是的，在培训学习的每一天都能让人感受到思想火花的撞击与迸发，整个培训的过程就好像是一次“洗脑”的过程，给了我太多的感悟和启迪!同时又仿佛是一剂“兴奋剂”，给了我无限的工作激情和留下了太多的思索！作为一名教师，我深知自己在数学教学上是不成熟的，教学工作中还有很多不足，但通过这次的学习，我坚信在以后的工作学习中一定能取得更大的进步。从本次培训中我更进一步了解和掌握了新课改的发展方向和目标，反思了以往工作中的不足。下面是我通过培训获得的体会：
一、数学理念的提升
我从事教育工作九年多，是一位有冲劲但没有丰富经验的教师，面对当今的形式，时代要求教师不断进步，吸取营养，为教育事业能够有突飞猛进的发展贡献自己微薄力量。在这次学习中名师们为我们总结了数学的思想方法和活动经验，这让我在数学理念上有了更深刻的认识。我在实际教学中缺乏高度和深度。老师关于课堂教学预设与生成的关系论述非常贴近我们的实际教学，这也是我们在日常教学中，尤其是公开教学中面临的最为头疼的环节。除了教师自身要具备较高的随机应变的能力外，更要汲取丰富理念，这样才能真正具备驾驭课堂的能力。
吴正宪老师给我们做了关于“乘法分配律——数学建模”的讲座，向我们介绍了她有关的多年的教学实践与反思，结合案例生动的讲解了课堂观察与教师专业发展间的有关内容，生动、实际。的讲座，引导我们思考“教学中，数学思想方法的具体运用”，刘月艳老师的“教学设计理论框架”讲座，通过具体案例和大家共同探讨了一些具体的数学思想方法……当然,精彩的讲座还有丁国忠老师的“世界咖啡——精心设计活动，落实课表理念”、刘琳娜老师的“数学概念的学与教”、刘加霞老师的“如何做主题案例及反思”、范存丽老师的“数学课程标准解读”等等，让我深深感受到教师就必须在各个方面提高自己。尤其是在教学方面,应该尝试多种教学方法,改变课堂,创造多彩课堂。一个优秀的教师不会上课单一，而是要有多种多样的课堂方式，只有形式多样的课堂,才能更好的吸引学生.让学生喜欢上数学课,从而在各个方面提高自己的数学水平，即在科学的理念指导下，改变教学方法。不能只是单纯的像以前那种教学的方法，我教你学。也不管学生会不会。现在要多学习。强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际生活中的问题抽象成数学问题并加以解决这一理念。采用教材中的教学情境，将课本数学变为生活数学，尽量创设生活化的的课堂情境，使课堂教学成为一种开放的“生活化“教学。“动手实践、自主探索、合作交流”是新课程倡导的重要学习方式。
就是要求我们把抽象的数学知识化为具体的、摸得着的、看得见的、可操作的数学。所以在教学中要注意从学生的数学现实出发，引领学生不断经历艰辛的自主探索学习过程，让学生亲历数学的“再发现”“再创造”过程，不仅仅学会了知识，更主要让学生感受如何学习，实现了数学课程促进学生全面、可持续、和谐发展的特点。
二、教学行为的转变
对于每位教师都要面临的备课和上课任务，在这次培训中我也有了进一步的认识。在日常教学工作中面对学生，面对堆积如山的要批改的作业，再加上那么些个后进生，教师已经很忙，谈何每天细心备课，认真钻研教材，尤其是像我这样缺乏经验的年轻教师，日常课堂教学的有效性内心来说实在让人堪忧。老师的讲解为我们在这些方面的思考提供了一些可借鉴的方法。空谈理论不切实际，屏弃理论也不合逻辑。我们应理论结合实际，在日常工作中根据自身工作量在学期初为自己制定好工作目标，如细致备多少节课，进行多少节课堂教学研究等。简单的说，就是有选择性地进行教学研究，保证在有限的教学时间中做到充分利用。我想这样一种教学行为的转变，才能真正意义上运用到我们的实际工作中，才能让学生获得更为有效的教学。
在本次培训中我们见到了一师附小几位在教育工作中作出优异成绩的教师现场观摩课，从他们身上，我学到的`远不只是专业的知识和做学问的方法，更多的是他们执著于教育事业、孜孜不倦、严谨勤奋、潜心钻研、尽心尽责的那种热爱工作，热爱生活的高品位的生命形式，作为一个学者,他们那闪光的人格魅力令我震撼！让我感染！让我开阔了眼界，拓宽了思路，转变了观念，促使我站在更高的层次上反思以前的工作，更严肃地思考现在所面临的挑战与机遇。
三、课程改革方面
经过这次学习，我认识到每一位教师都应积极参与到课程改革中去，不做旁观者，做一个课改的积极实施者。在吴正宪、白永潇，和余新三位名师中都提到了课程修订，其中变化最大就是“双基（基本知识和基本技能）”变“四基（基本知识，基本技能，基本思想和基本经验）”，“双能（解决问题的能力和分析问题的能力）”变“四能（解决问题的能力，分析问题的能力，发现问题的能力和提出问题的能力）”。在小学估算中，估算的方法有所改变，一，估算时要先找估算单位，估算的“估”是找到一个范围，而不是一个点。小学第一学段要学习的是选择估算的单位，小学第二阶段要求学生学会选择合适的估算方法以及数量级的思想。教师，尤其是一线教师，重要的工作阵地就是课堂。但，教师不能只是课堂技术的机械执行者，而必须是课堂实践的自觉反思者。
培训活动是短暂的，但无论是从思想上，还是专业上，对我而言，都是一个很大的提高。这次培训使我更加深刻地体会到学习的重要性，只有不断的学习，才能有不断的提升。我愿在这快乐而无止境的探索中去实现自己的梦想。
小学数学培训总结4
有幸参加了“自贡市小学数学骨干教师培训班”3年的学习，在这里我感受了名师的风采，聆听了精彩的讲座，也更新了教学观念。这次教师培训已经接近尾声，回顾这次培训，感受颇深：教师的专业成长离不开专家的引领，他们给我们从很多方面进行了指导，使我们接触到了专家学者们的教育新理念，学习了不少教育、教学方面的知识，也观摩了许多一线教师的精彩课堂，认识到了自己教学中的不足。这次培训内容很深刻，培训的效果将影响深远。
我始终牢记开学典礼上市教育局高教司科长对我们讲了三点希望：端正态度，重视学习；尊师守纪，谦虚学习；学用结合，创新结合。每一次的聆听讲座和课后交流，我们都能踊跃发言，大胆地陈述自己的观点想法，提出自己感到疑惑的难以解决的问题。我坚持和骨干班的其他学员保持密切联系，使自己能博采众长、开阔视野。下面是我通过培训学习以及自己在工作中获得的点滴体会：
一、要做一名优秀的人民教师。
还清晰的记得富顺县城西小学的王军老师对优秀教师角色的形象分析，培训教材《教师的诗意生活与专业成长》、《骨干教师成长的秘诀》《点击苏霍姆林斯基》和《师德修养与教师专业成长》这几本书的内容至今印象深刻。优秀教师的成长应该需要教师有对教育的崇高理想，还要有先进的教育思想，对工作的激情、态度，良好的悟性，深刻的反思能力、读书的能力，学习生活中的韧劲。一名优秀的人民教师应该是思想好、专业强，懂生活。炼就优秀教师有三个境界：第一个境界是艰苦的准备期，第二个境界是坚韧的.探索期，第三个境界是辉煌的成功期。教师需要从杂家到行家再到专家。我从教已近12年，我想自己已经进入了坚韧的探索期。这需要我耐得住寂寞，潜心教书，认真育人。
二、要加强数学专业知识的学习。
想给学生一滴水，教师就必须具备一桶水。教科所的唐玉霞老师对《小学数学课程标准》的分析，自流井区基教中心的甘奎老师对小学数学教材编排体系的分析，成都金牛区教育研究培训中心的苏晗老师对新课标背景下的数学教育、学生学习、教师教学的分析，对我都很受用，在此基础上我认真学习了培训教材《实施新课程精要读本小学数学》。如何把握新的课程标准，真正的对学生实行素质教育是我们必须要把握好的。
三、抓好课堂教学，提高教学效率。
省教科所的尤一老师叫我们《于纷乱中静下心来》，我们不由的开始重新审视学校里轰轰烈烈的新课程背景下的数学课堂教学，反思竭力追求的形式新颖，开始思考我们到底教什么？到底考什么？数学课堂教学可以千变万化，但也有恒定不变的东西，那就是知识严格发生发展延伸的规律。市教科所的王坚老师主讲的《有效课堂教学》，成都市青羊区教师学习与资源中心的刘庆华老师《课堂观察》，成都川师附小的黄老师与我们交流了《关注课堂理答，追寻课堂精彩》，，都从不同的视角对课堂教学进行思考。培训课本《教师课堂教学技能指导》更是对教师课堂教学提出了全面的要求。
成华区的教师肖凯老师主讲了《我们应该怎样读数学教材》，成都金牛区教研培训中心苏晗老师《模块教学法》特别是以学生学习成长值外显方式进行评价学生，化学生被动评价为主动学习，对我触动很大。成都锦江区教师进修校的锐老师主讲的《运算教学的核心价值及其策略》正解决了我多年数学运算教学的困惑。
四、加强教育科研能力。
大安数学教研员徐朝全以“问题解决”为中心的团队主题研讨例谈，从认识周长的教学→教学分析→设计环节和解决→教学反思。这是一种非常好的教研方法，培训教材《教师怎样进行反思与写案例和论文》、《有效的观课议课》、《教师如何设计作业与命题》对我们一线教师是非常实用的。
五、加强对其他知识的学习。
四川理工学院的石军老师给我们讲解了《校园礼仪》。自贡阳光心理咨询室的欧大可老师主讲的《小学生心理问题的疏导策略》中，我进一步知道了态度教育的重要性，要尊重学生的个性，挖掘学生潜力，关注学生的心灵，在身后为学生加油。图画中的心理学也是我比较感兴趣的知识：房树人、自画像、家庭结构图，自贡阳光心理咨询室的欧大可老师以《疏导教师的心理压力，构建和谐育人环境》为题，关注教师工作的心理状态，告诉我们要悦纳职业；悦纳学生，我们的教鞭下有瓦特，冷眼中有牛顿，讥笑中有爱迪生；悦纳自己，自己要有良好的个性、处事行为和人际关系；悦纳同事，与领导是乐队与指挥的关系，与同事是树木与森林的关系。培训教材《教师心理健康读本》也成了我比对自己的标准。这次培训，给我留下印象最深，至今回忆起来仍历历在目，深感自身的责任重大，自身压力也变大了，要想不被淘汰出局，要想最终成为一名合格的骨干教师，就要更努力地提高自身的业务素质、理论水平、教育科研能力、课堂教学能力等。而这就需要我付出更多的时间和精力，努力学习各种教育理论，并勇于到课堂上去实践，及时对自己的教育教学进行反思、调控，我相信通过自己的不断努力会有所收获，有所感悟的。最后再次感谢领导和班主任老师们给我提供了这么好的学习环境！
小学数学培训总结5
我有幸参加了小学数学教师的培训，经过学习，使我受益匪浅。我的教育思想、教学观念、等都得到了更新，而且我的教学方法、教学手法、教育教学策略也得到了很大的提高。现就将本次培训心得体会总结如下：
一、 思想灵魂得到了洗礼
多年的教学历程，使我已经慢慢感到倦怠，我已不知从什么时候开始，就老是爱抱怨现在的学生难教难管，却把教师的职业当成了一种谋生的职业。所以对待教育教学工作常带有厌倦感，心态老是失衡。可通过这次培训，听了专家们的观点，使我的心灵受到了震憾，灵魂得到了净化，思想认识得到了提高。让我能以更宽阔的视野去看待我们的教育教学工作。让我学到了更多提高自身素质和教育教学水平的方法和捷径。“爱”是教育的支点，我们知道了怎样更好地去爱自己的学生，怎样让我们的学生在更好的环境下健康茁壮地成长。
二、加强学习，促进专业化成长
教师要想给学生一滴水，自己就必须具备一桶水。但要想学生永远取之不尽，用之不尽，教师就得时时给予补足，专家的话就充分印证了这句话。他们用渊博的科学文化知识旁征博引给我们阐述深奥的理论知识，讲得通俗易懂，让我们深受启发。面对着一群群渴求知识的学生，使我深感到自己责任的重大以及教师职业的神圣。让我对如何进行有效备课和上课指明了方向。特别是教师们对教学中的困惑和争论，更让我体会到了进行终身学习，促进教师专业化成长的必要性。冰冻三尺非一日之寒，我们教师只有不断地学习，不断地完善，不断地提升，才能满足社会的需求，才能适应世纪的挑战，才能胜任教师这一行业。
三、有效课堂的建构
通过认真地学习，使我对如何有效备课和上课有了全新的认识。面对着新课程、新理念，我们教师就得更新教育教学观念，采取新对策实施有效教学，跟上时代发展的步伐。
有效课堂教师要坚持做到先学后导，把先学后导贯穿于课前、课中、课后，并要以建构主义教学为基础，遵循学生认知规律，从学生已有的知识基础经验出发，帮助学生找准新旧知识间的切入点，让学生的思维产生碰撞和冲突。抓住新旧知识之间的转化关系，这需要教师创设真实的情景来互动。教师设问题，学生生成问题，教师引发讨论，使整个课堂的学习活动充满生机活力。
有效教学要把评价渗入课堂。教师要使知识问题化、问题能力化，要实现这一目标教师就必须与学生共同建立起知识的.桥梁，形成合作、探究解决，并以问题为核心，以学生为本，该如何创设和谐的课堂或情境？指导学生的学习是要科学化，训练的问题是要目标化，内容的评价要全面真实化。一系列的问题教师都必须进行全面的思考与评价。
四、积极参加调教活动和听优秀老师的观摩课
培训时，专家们的讲述，环节严谨，重点突出，过渡自然，使我深受启发，争取在教学时精心设计习题，用行动激发学生的学习热情，让学生懂得数学生活中的广泛应用，体现了新课改的理念“人人学有用的数学”。贴近学生的学习生活，学生更乐意接受。
通过参加这次的培训学习，确实使我大开眼界，从其他老师身上学到了很多有价值的东西，我会把学到的技能用于今后的教学当中。
小学数学培训总结6
根据市教育局骨干教师成长计划的相关要求，为了打造一支业务精湛、素质优良的小学数学骨干教师队伍，本着以培促教、以培促发展的原则，我们针对参加培训骨干教师的特点和实际状况，以新课程、新理念、师德修养为主要内容，结合小学数学课程的特点，精心策划、有效地组织，使本次培训取得了较好的效果，达到了预期的目的。现将培训工作总结如下：
一、培训活动及主要特点
1、培训内容具有针对性
本着培养骨干、讲究实效的原则，针对我市教育教学和培训对象实际，此次培训形式多样、内容丰富，既有专家的讲座，又有一线教师面对面的指导，学员间的教学观摩以及写论文等。共听取了专题讲座六个：芦喜强对《数与代数》、《空间与图形》的培训；田东平对《解决问题》等的辅导；以及《教材分析与教学实践》和《教材分析与教学评价》。这些讲座内容丰富，题材广泛，给学员们带来极大收获。
围绕“在新课程下如何提高课堂效率”这个主题，骨干教师分学段撰写教学设计，各区内由教研员组织骨干教师研讨交流，并进行上课、研课，为老师们提供了一个良好的学习、探讨的机会。
2、培训形式灵活多样
培训中主要以提高认识、关注课堂、寻找问题为研修的主旨、以专题讲座、小组互动作业、课堂观摩、交流研讨为研修的主要形式。同时还根据学员的实际和学科的特点，围绕老师们在课堂教学中的问题进行深入研讨。
为了调动参培教师已有的经验，我们高度重视他们在培训活动中的参与，针对每一个专题均有供学员思考、讨论的时间和空间。重视教师提出问题、解决问题、生成研究问题。培训中既有实践操作又有理论提升，既有专家讲座，又有互动交流，既有课堂观摩，又有学员互动评课，专家引领。灵活多样的培训形式，很受学员欢迎。
3、培训任务完成质量高
由于我们根据课标的要求和数学学科的特点，按不同的板块类型，提供了有研究价值的研究课，围绕各类课的教学特点、教学策略、教学方法进行分析。因此学员积极认真参与各项教学活动并能进行热烈的讨论，从具体教学切入，联系实际，充分激活教师教学实际经验的总结，反思教学行为，实效性较强。高效地完成本学年的培训任务。
这种培训不仅掌握了具体的教学方法，而且掌握新课程教学的一些基本要领。学员们非常喜欢这样的活动，在他们的总结中写到：“这样有理论有实践的培训，很实在。作为一个长期从事六年级数学教学工作的'我来说，亲身感受到了新教材并非那么难上，教法与学法上得到很大提高。”……。
二、培训取得的成绩和经验
为了确保培训的高水平、高质量，从培训的理念、教学方式以及授课专家的选择，经过精心安排，精心准备。在培训过程中，教师们专心致志地听课，记录，积极思考并参与讨论交流。他们刻苦学习和勤于探索的精神给我们下了深刻的印象。
1、实现了方法到理论的提升
教育教学理论的提升是本次培训的重心之一，我们聘请了全省既有丰厚的教育教学理论又有丰富教学经验的教育专家学者，他们从不同层面不同角度对教育发展的历史、现状和发展趋势以及新课程改革中的焦点问题进行方方面面精辟独到的剖析。李晓梅主任对数学严谨地表述，潜心地思考，精辟的归纳，不得不让人佩服数学和数学研究者的魅力。从而加快教师自身专业化发展，让大家感到受益匪浅。
2、教学实战能力得到提升
本次培训充分关注一线教师的实际需要，不仅在大的纬度上帮助教师构建理论体系，同时更关注新课程背景下课堂教学深层问题。如《教材分析与教学实践》和《教材分析与教学评价》的讲座研讨活动中，巧妙地运用一个教学案例，让大家深刻地理解了“什么是教学设计”，懂得了“教学设计的基本程序”，掌握了“教学设计的核心是什么”。明白了“抓住教学目标、抓住学生思考、抓住教学反思、落实教学环节、落实教学活动，”在充分的教学准备的前提下，设计和上出高质量的新课程数学教学课。
几位特级教师老师的精彩课堂实例展示以及丰富多彩的教学片段设计、小组交流等都使每一位参培教师在观摩、思考、碰撞中得到提高。为学员提供了学习和研究的现场。
整个培训活动从实践到理论，循序渐进，打破了过去从理论到实践的传统。从培训的思维方法看，从过去的理论演绎转化为从实际到理论的归纳。不仅降低了学习的难度，而且提高了学习的实效。
3、培训者的收获
教学是一个相互促进，共同提高的过程。充分利用学员优质资源也是我们这次培训的一大特色。在与参研教师平等对话、交流中思想得到碰撞，通过碰撞，得到共识。同时学员之间交流生成的问题和解决问题的方法也是非常宝贵的资源。
三、培训后的思考
今年的培训工作从总体上讲取得了极大的成功，受到广大参训教师的欢迎。但在局部还存在一些值得总结和反思的问题：
1、在培训中我们注重调动学员学习的积极性，但供大家参与交流的时间还不够充分。
2、由于班额大，人数多，因此跟踪指导的不够及时、全面。
在下学年的教师培训中，我们一定不断改进工作，把培训搞得更加有声有色，更加卓有成效，不辜负市教育局领导和参训学员的期望，也希望教育局、各有关学校和广大教师给我们更大的支持和帮助，共同做好我市的教师培训工作。
小学数学培训总结7
本学年，学校从教师规划、班主任工作、新课程理念以及教育科研能力培养等诸多方面对全校教师进行了培训，尤其是专家引领培训使我感触颇深。
11月5日，学校请来了大师——吴正宪老师，有幸和吴老师同台上课。初次见面，吴老师说：“只闻其声，不见其人”，继而一个拥抱，让我激动不已，使我感觉到大师离我并不远，她一点架子也没有，是那么的可亲可敬！一下子就缩短了我跟吴老师心的距离。在与大师零距离地接触中，她对我课的评价，给了我莫大的鼓励，她的热情点燃了我心中那份上进的火苗；她那精湛的教学艺术，独特的人格魅力影响了我、刺激了我；她那真诚的目光鼓励了我，不知为何，我兴奋着！突然，我告诉自己，我要试着去飞翔，即便是一只“小鸭”，哪怕将来飞不高，飞不远，但是也要试着去飞翔，总不能低头只顾身边的小虫，将来变成一只肥肥的“大鸭” 而步态蹒跚！吴老师对我说的每一句话都烙印在我的心中，“努力啊小林，你很有潜力！记住做人，做教师，做学问！我喜欢你！”吴老师对我的鼓励成了我上进的动力，鞭策着我！细细品味着吴老师说的“做人，做教师，做学问！”我——回味无穷……
通过一年的学习和培训，取得了一些成绩：负责的课题市级一项结题，一项被立为市级重点课题；在全省第十二届教师自制多媒体教育软件评比活动中——数学星空（博客）获小学组学科主题社区三等奖；在名师有约——吴正宪老师智慧课堂与教育思想展示活动中上了一节公开课——《稍复杂的`方程》；为全镇四下数学老师作教材专题辅导讲座；论文《在“导?探?用?思”中建构有效的计算课堂》获省级三等奖。
点滴成绩只能属于过去，在今天，社会的发展，要求不断地更新知识，教师的专业化发展也是没有止境的，“问渠哪得清如许，为有源头活水来”——对于我们教师来说，必须具备终身学习的能力，坚持终身学习，只有这样才能赶上信息社会的步伐。
小学数学培训总结8
8月18日至19日在新碶小学举行了三年级、四年级数学新课程培训，两个年级近一百三十位教师参加了培训。本次培训分三年级和四年级，时间各为一天，培训内容注重教材分析，并结合课例突出重点，让参加培训的教师在熟悉和了解教材的同时，明确教学方向，通过专题讨论探索解决疑难问题的途径和方法。本次培训有以下两个特点：
一、注重突出教材内容重点，提出教学建议。
在分析教材的具体内容过程中，讲课老师非常注重对教材特点的讲解，结合其特点分析教学内容的重点和难点，从全册到单元，从单元到课时，逐一提出教学建议。同时还结合学生的年龄特征、学习规律，提出如何开发、利用好教学资源，如何组织有效的教学活动，并通过具体的教学案例加以分析，时而提出一些思考问题让教师讨论，做到了听讲与领会同步。
二、组织专题讨论，探索解决疑难问题的方法
本次培训不但在教材分析上作了一些改进，而且在通过分析教材的同时，根据教材本身的一些问题及在教学过程中可能会出现的问题，提出研讨的内容，组织教师进行讨论、交流，尽量让教师把一些疑难问题在实施课堂教学之前解决好。这样，在培训期间教师对所教年级的教材既可以做到较全面的`了解，也能较好地把握课堂教学的目标。
通过本次培训，我们体会到培训内容、培训方法必须切合教学实际，围绕教师需要什么，急需什么开展有针对性的培训，使参加培训的教师能做到学有所得，学以致用，真正体现培训的效率。
小学数学培训总结9
通过这次的培训学习，本人收获较大，获益匪浅，学到了许多新的知识，也看到了自己与他人的差距，眼界开阔了、思考问题能站在更高的境界，许多疑问得到了解决或者启发。对我们的教育与新课程又有了一个新的认识。在今后的教学实践中，要努力学习不断提高自己的业务水平，这次培训让我深有感触：
一、在这段时间的培训中，先后有幸听到几位优秀教育专家给我们做的培训报告，深受启发。报告中，几位专家对小学数学的教育的方向和方法、小学教师专业标准解读、课堂观察技术与方法、校本研修与在岗实践等方面做了深入细致的讲解，让我听了受益匪浅，他们的报告很贴切我们日常的教学活动，对我们日常的教学活动有很大的帮助。通过他们的讲解，使我知道原来平时的数学课也可以有闪光的亮点，只要我们教师是个有心人，从点滴做起，定会把数学课堂变成学生最愿意呆的课堂。
二、理智型的教学需要反思。它是一种理性的`以职业道德、职业知识作为教学活动的本出发点，努力追求教学实践的合理性。从经验型教学走向理智型教学的关键步骤就是教学反思。对一名数学教师而言教学反思可以从以下几个方面展开：对数学概念的反思、对学数学的反思、对教数学的反思。
三、教得好本质上是为了促进学得好。但在实际教学过程中是否能够合乎我们的意愿呢？我们在上课、评卷、答疑解难时，我们自以为讲清楚明白了，学生受到了一定的启发，
但反思后发现，自己的讲解并没有很好的针对学生原有的知识水平，从根本上解决学生存在的问题，只是一味的想要他们按照某个固定的程序去解决某一类问题，学生当时也许明白了，但并没有理解问题的本质性的东西。
新课程对教师提出了教育专业工作者的要求，我们只有作好充分的准备，进行精心的教学设计，才会在教学中使学生真正地动起来，经历＂与人合作，并与同伴交流思维的过程和结果＂，使学生善于倾听他人发言，乐于陈述自己的想法，敢于修正他人的观点，勇于接受他人的意见；这些都有利学生主动地参与学习，有利于提高个体的学习动力和能力，才会使他们感到无限快乐，感到自己精神的、智慧的力量在增长，使学生的个性得以充分的发展。
通过这次研修学习，我找到了以前教学中遇到的困惑和难点的解决方法；通过这次研修学习，对我的各方面都有很大的提升。总而言之，“终身学习，终身受益”深入人心。这次培训结束了，留给我许多宝贵的知识，我要以这次培训会为起点，在以后的教学中慢慢吸收这些知识，做一名合格的进而优秀的数学教师。
小学数学培训总结10
参加对教材培训的学习，使我对新课标的要求有了新的认识和体会，感受到教材的编写无论是从内容的呈现方式，还是页面的设置上都重视儿童已有的经验和兴趣特点，提供丰富的与儿童生活背景有关的素材，这些正是激发学生的好奇心和求知欲，新教材无论教学内容安排还是呈现形式，处处都是以学生为中心，以重视和培养学生的能力为目的。下面就是自己学习之后的一些肤浅的认识和体会：
一、理解新课程的基本理念，改变教学方法。
新课程标准的基本理念之一是“实现人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”。理念之二是“学生的数学学习内容应当贴近学生的生活，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”。基本理念之三是“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”。教师要深入、全面地学习课程标准，理解课程标准的精神实质，掌握课程标准的思想内涵，通晓课程标准的整体要求，才能目的明确、方向集中地钻研教材，具体、准确地把握教材的重点、难点，创造性地设计教学过程，从而得心应手地驾弩教材，灵活自如地选择教法。
二、适当调整知识结构，提供清晰的线索和步骤。
新教材根据教材实验结果和教师们的普遍意见对教学内容进行了调整。如统计与概率等内容适当降低难度，第一学段统计与概率部分内容大幅减少，部分内容移到第二学段。如一年级上册“时间”这一单元，将原来的“教学整时和半时”改为只教学“整时”。再如教材系统处理了“解决问题”，为实现“解决问题”的课程目标提供教学思路、发展线索和可操作的案例；针对在实验教材使用过程中，广大教师、教研员提出的不适用的教学素材；例题设置中的一些不合适的呈现方式；练习题编制中的.有难度或效率低的题目；等等，进行细致地修改。循序渐进的提供解决问题的一般步骤，教给学生解决问题的基本方法。因而此次课改通过教材修订研究和精心制作工作，形成了一套文字表述准确，易懂、可读性强，版面设计清爽美观，图文并茂配合恰当，装帧精美，教师能准确把握教材编写意图的教材。
总之，面对新课程改革的挑战，我们必须多动脑筋，多想办法，密切数学与实际生活的联系，使学生从生活经验和客观事实出发，在研究现实问题的过程中用数学、理解数学和发展数学，让学生享受“数学学科的快乐”且快乐地学数学。
小学数学培训总结11
去年，我有幸参加了颍东区小学语数学骨干教师培训班，共十期的培训已经结束，这次培训让我受益匪浅。我的教育思想、教学观念、教育教学理论得到更新，极大的丰富了我的教学方法、教学手段、教育教学策略。这次培训的内容以骨干教师的现场课为主，同时还有上海市教育局教研室专家作专题报告。现将自己的心得体会总结如下：上海专家的讲座，阐述了他们对小学数学教学的独特见解，对新课程的各种看法，对数学思想方法的探讨，并向我们介绍了比较前沿的教育理论知识。听了他们的讲解，我的思想深深受到震撼：作为一个普通的小学数学教师，我思考的太少。平常我们在学校中，考虑的都是如何上好一堂课，对于学生的长期发展考虑的并不多，甚至于忽视这一方面。
听了讲座，我觉得在今后的教学生涯中，我们不应仅仅着眼于一些短期利益，而应把眼光放长远一些；课堂教学中应重视数学思想方法的渗透，而不局限于单一解答方法的教学；不要盲目地迷信新课程标准，而应辨证地看待它。
除了理论知识以外，每期培训还为我们安排了本地教师和上海名师同上一节课的同课异构活动。这些课在教学过程中创设的情境，目的明确，为教学服务。例如刘老师在整个教学过程都紧紧围绕着教学目标，非常具体，有新意和启发性。在教学除法的竖式从理解的角度，分一分的角度来理解和试写，使原来的空洞的专家说的必须满堂灌的教学内容教活，学生能够理解才能记忆深刻。费时也是值得的。原来这样的内容也可以培养学生的创造性，也可以体现过程性。
在教学中，教师放手让学生自主探究解决问题的方法，整节课，每一位教师都很有耐性的对学生进行有效的引导，充分体现“教师以学生为主体，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者”的教学理念。执教者的语言精练、丰富，对学生鼓励性的语言非常值得我学习。这些优质课授课教师注重从学生的生活实际出发，为学生创设现实的生活情景，充分发挥学生的主体作用，引导学生自主学习、合作交流的教学模式，让人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，体现了新课程的教学理念
1、我深刻地感受到了小学数学源于生活，体现于生活。
教师作为学生学习的引导者为学生提供活动的舞台，调整学习的方向，是关键时刻予以适当的点拔的学习过程的支持者。在课堂学习中，学习的材料来源不再是单一的教材，更多的是从学生的生活经验来编材。与生活贴近的知识，学生听起来亲近，求知欲就强，要突破的愿望就强，做起题来积极性高，也体现出教学面向学生，面向生活，反映现实生活，而这些正是这群听课学生日常生活中经常见到的，使学生感到数学问题新颖亲近变得摸得着，看得见，易于接受，从而激发了学生内在的认知要求，变“要我学”为“我要学”。更好的启迪了学生的思维，使学生的创新意识得到了较高的培养，也实现了“生活经验数学化。”
2、在这几节课中，体现生本教育，教师能放手让学生自己动手操作，自主探究解决问题的方法，在课上，每一位教师都很有耐性的对学生进行有效的引导，充分体现“教师以学生为主体，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者”的教学理念。参加这次授课的教师注重从学生的生活实际出发，为学生创设现实的生活情景，充分发挥学生的主体作用，引导学生自主学习、合作交流的教学模式，让人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，体现了新课程的教学理念。以小组合作的方式，不仅培养了学生的合作能力，也给了学生一种集体荣誉感。
3、精彩的导课非常重要。参赛的教师几乎都精心设计了课堂导入，像周德花老师，就以小游戏的方式导入新课。好的导课可以拉近师生距离，使学生的向师性更强，积极参与教师的教学活动，提高课堂学习效率。
4、教师评价要及时到位并且多方位。教学过程中，几乎每位教师都注意了及时评价及激励评价，对学生的赞扬和鼓励不断，同时也及时纠正学生的行为习惯。这些看似微不足道的语言，在学生的心里却可以激起不小的情感波澜，对于整个课堂的教学效果的提高也起到了相当程度的积极影响。
5、注重“板书”的设计与书写。多年来，由于多媒体课件的闪亮登场，教师的板书也好象置于被人遗忘的角落，悄然隐退了。殊不知，课件是不能完全代替板书的，课件的呈现具有瞬时性，况且课件的作用是“辅助”教学，怎么能替代一目了然、提纲携领的板书设计呢?板书也是教师基本功的一个侧面反映。这次优质课，每一位老师都在板书的设计上下了工夫，有的老师书写工整，排列有序;并且老师们出手一笔清秀的字跃然而上，为课堂增色添彩等。总之，“板书”又重新回到了自己的`位置，发挥了它在课堂教学中的作用。每位老师的板书列出了本节知识点，并且将每个知识点之间的联系用线画出，使本节知识清楚明了。6、这些课在教学过程中应用多媒体课件进行直观教学，活跃了课堂气氛，激发学习兴趣。每一节课都通过多媒体课件的展示使抽象的知识更直观，更让学生容易理解和接受。
总之在这次活动中，上课的老师都能根据小学生的特点为学生创设充满趣味的学习情景，以激发他们的学习兴趣。最大限度地利用小学生好奇、好动、好问等心理特点，并紧密结合数学学科的自身特点，启迪他们积极思考，激发学生的求知欲，激起他们探索、追求的浓厚兴趣。促使学生的认知情感由潜伏状态转入积极状态，由自发的好奇心变为强烈的求知欲，产生跃跃欲试的主体探索意识，实现课堂教学中师生心理的同步发展。
在今后的教学工作中我一定要努力探究，找出教育教学方面的差距，向这些教育教学经验丰富的老师学习，教坛无边，学海无涯，在以后的教学中，以更加昂扬的斗志，以更加饱满的热情，全身心地投入到教育教学工作中。
学习虽然结束了，内心积蓄无限力量的我将以饱满的热情投入到工作之中，我会努力把学到的理念、方法用于自己的教学实践之中，用先进的教学理念、优化的教学方法回馈给学生，我会用我的爱心去教诲我的学生，用我的热情去培育我的学生，无悔于我的教育事业。
小学数学培训总结12
x月x日，全县小学数学教师暑期培训会在xx召开。这次培训由x主任主持。首先，x主任做了短小精悍，实效性很强的报告，接着，x老师带领大家学习了新课标，接下来是观课议课环节。最后县教研室x老师就这次会议作了全面总结，在这次学习活动中，我始终认真听讲，并做了详细的会议记录，收获颇多，现将所学盘点一下：
总的感觉：问题意识越来越浓厚。不论是x主任的报告之前，还是观课议课之前，总是有问题相伴，x主任提出问题，大家带着问题去听，去想，去讨论交流、去收获智慧。我想这是不是和新课标中的一些重要变化相吻合呢？
一、xx主任的报告
会议的开始，x主任为大家介绍了远程研修的情况，肯定成绩的同时也指出了不足，使我对远程研修有了更深刻的认识，更加了解了各级领导对研修的高度重视、专家们为这次研修付出的心血，我想，下次研修的时候，我会加倍珍惜这来之不易的学习机会。接着，x主任介绍了六年级阶段性检测情况，从考试的组织形式到试题的修订印刷，结合孩子们的成绩分析了当前的现状：两极分化比较严重。同时给老师们明示了出题范围：把握好教材，用好我们的基础训练和单元试卷，足矣。
二、x老师的新课标培训
对新课程标准，x老师做了高屋建瓴的解读。从新课标的特点到课程标准的重要变化；新增加了“课程性质”，整合了三个阶段的实施建议，规范了目标行为动词，知识性目标有了解、理解、掌握、应用，过程性目标“经历、体验、探索”；新增加了教学案例；从数学教育的基本理念到十大核心概念，课程标准从总体目标、总纲、四个方面分学段进行了阐述。我想，通过今天的学习，“双基”变“四基”是课程标准最大的变化，同时在老师们的心中，“四基”在老师们心中也有了根深蒂固的印象······
三、观课议课
x主任为我们精心挑选了xx老师执教的《圆的`认识》。这是一节先于新课标的、具有极大创新精神、童趣盎然的课。课上，领略了x老师幽默风趣、一睹王老师“以学生为本”的霸气，更多的是x老师对于教材的解读、教学的设计还有对孩子已有知识的尊重，以下几点为我留下了非常深刻的印象。
第一点是x老师创设的情境。课的开始，x老师创设了孩子们喜闻乐见的动物运动会，活灵活现展示小动物骑车比赛的生动场面，彰显了现代化教学法手段的优越性，一下子吸引了评委老师的眼球，不，关键是吸引了孩子们的眼球。不但引起学生的兴趣，同时为学习新知识提出了要思考的问题。俗话说：好的开始是成功的一半，x老师成功了一大半。
第二点是让学生经历知识的形成过程。在深入研究教材、课标的基础上，灵活处理教材。把折圆纸片感知圆心、半径，认识圆，设计为小组用图钉、线绳、铅笔头三种物品合作画圆，支解了本节课的难点，学生初步感悟了圆心、半径。同时，由于这样设计动手幅度大，学生体会深刻，合作性强，活动时间、空间扩大，提高了学生投入学习活动的主动性、积极性，有利于培养学生合作学习的精神和创新的意识，同时也激发了学生对数学学习的兴趣。
第三点是朋友式的师生关系。本节课突出了小组学习和多种组织形式的有机结合，创造了一种和谐的学习气氛。在教学方法上是探索法、研讨法、讲解法、实验法的多种结合，表现了老师驾驭课堂的灵活性和艺术性。“学生为主体，教师是教学活动的的组织者、引导着、合作者”这一理念更是得到很好的体现：师生共同研究问题，互相取长补短，建立起一种既是师生、又是朋友的新型师生关系。给我留下深刻印象的是两次师生合作画圆，称呼学生“xx、xx”。给人一种亲切感、童心感和智力潜能的展示感。学生给人们留下的印象远远超过了教师给人们留下的印象。
第四点是关注学生已有的知识经验。x老师让学生找出生活中的圆，根据学生的知识基础，从学生已有的知识经验出发，因势利导，适时调控，营造了师生活动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成了有效的学习活动。
第五点是本节课中数学思想体现到位。比如学生说出生活中的圆以后，老师大屏幕展示硬币、钟表、月亮的形状，由物体是圆的，到抽象出圆的几何图形，以及与三角形、四边形比较，初步认识圆是平面上的曲线图形。这些知识只有在教师的层层引导下，才能步步加深认识。这样安排教学活动，教师的主导作用发挥得好，同时学生经历了从具体到抽象的过程，渗透了抽象、比较、分类的数学思想。
第六点是课堂的最后，前后照应，继续放完动物骑车比赛的动画，让学生亲眼看见圆的知识的应用，真正体会到数学就在身边。
最后，用x老师的话作为结尾：“过程好了，结果不会差；学生动起来结果会更好。”我想，今后我要做的，就是用心去做好过程，让学生动起来，经历过程，善始善终。只要用心，没有什么不可以。
小学数学培训总结13
平日只顾埋头于工作之中的我，无暇驻足回首自己在数学教学中曾走过的路，也不曾思考自己前方的目标在哪里。这个学期我有幸参加了楚州区数学骨干教师培训班的学习，在这一年的时间里收获颇丰。
在开学初，我就给自己定下目标，一定要把握机会，用心学习、潜心钻研、大胆实践，并克服自己的弱项，要多读书、多动笔。
就这样开始了我的学习生活。
一、认真学习，启迪智慧。
我聆听多位专家讲座和名师的课堂教学，全身心的沉浸在浓厚的学习氛围之中，被专家、名师那渊博的知识、精湛的教学艺术、严谨的治学态度、高度的责任心、独有的人格魅力所折服，不仅开阔了视野，加深了对数学学科及数学内容本质的理解，更重要的是让我站在了一个新的高度、从一个新的角度去理解和诠释了我所热爱的数学教学。
1、学会听讲、学会记笔记
在学习的过程中，我认真听讲，并坚持认真做好笔记，听讲什么？笔记记什么？怎么记？
刚开始，每次听“名家”讲座都似乎停不下笔，抬不起头，哪怕一个字都不舍得放过，没有了自己的思考，也就失去了与“名家”思维碰撞的机会。
慢慢的我有了自己的想法：“听”和“记”都要有“重点”，那何为“重点”？
我个人认为：重点一，“名家”讲座的框架和思路，和重要观点。
重点二，经典语句，名人名言，为自己的实践找到理论依据。
重点三，值得进一步思考或对自己有启发的话或问题，便于课后反思自己的做法和想法。
重点四，也是最重要的，对于“名家”讲座自己的思考是什么？哪怕只是在脑海里一闪而过的念头，有碰撞的思维才是真正有价值的思维。尤其是自己“突发奇想”的“好点子”，便于回到岗位后的教学实践。
这样，我一边听、一边思考，一场场讲座下来，我的收获颇丰。
2、学会思考，学会反思
在自己的教学过程中，经常会对学生说，“你得思考，光听不行！”今天当自己成为学生的时候，不由得又想起了这句话——“你得思考，光听不行！”
思考应该是一种习惯，只不过在日常工作中“懈怠”了思考，而变得不愿思考，日久天长也就不会思考了。这又何尝不是游离于课堂之外的学生的.现状呢？
张大冬老师的讲座时刻激励着我，——做一个会思考、有思想的人；特级教师们一节节精彩的教学观摩课、备课过程中一个个生动的例子，无一不在警示我：要想成为一名优秀的数学教师，爱思、勤思、会思是何等的重要，张老师可谓是“一语惊醒梦中人”，特级教师有一个共同的特质那就是：长时间思考一个问题。
“反思”过去的理解就是“做错了，想想哪错了？怎么改？”或是“做得好，想想为什么会效果好呢，以后还要坚持”，片面的理解却让我以为这就是“反思”的全部含义了。
到底什么是反思呢？反思就是围绕某个问题多方面搜集“证据”的过程，反思就是反反复复地思考！反思要不断的质疑，关注“傻”问题；反思要不断的追问；反思要追求“合理性”、“存在性”；反思要关注细节。
教师的反思不仅仅是头脑内部的“想一想”（自己与自己的内部对话），而应是一个不断实践、学习、研究的过程（自己与自己、自己与他人、理论与实践的更深层次的对话）。
在大家的启发和区内名师的指导下，我开始了自己的教学反思之旅。其中我通过一次在课堂中面对学生意外“生成”的处理，对教学任务与课堂生成的关系，捕捉课堂生成与教学机智两方面进行了反思，并撰写了多篇论文。
3、爱上读书，增长“内功”
曾经我是个不太爱读书的人，去书店买书也只是会考虑买学生思维训练、练习册、教学技巧、教案集等方面的书籍，虽然在工作中也感到自己专业知识的匮乏，但还是没有感到应该多读书，也不知道该读什么书。
在学习的过程中，我逐渐更深刻的意识到了：读书的重要性。读书不是为了应付明天的课，而是发自内心的需要和对知识的渴求。多读书、读好书可以开阔视野，积淀自身的素养，锤炼自身的数学功底。
从刚一开始，如同“蚂蚁啃骨头”般艰难的读完《建构主义理论》第一遍，真可谓是“丈二和尚摸不着头脑”到反复读了5遍后的如获至宝，在这个过程中，我发现现在的课程理念的理论基石便是《建构主义的理论》。理念的更新，模式的转变，方法的变革以及教学设计的创新都基于对建构理论精髓的把握。
随后我又读了著名教育家苏霍姆林斯基的《给教师的建议》、《骨干老师的成长》、《教与学的新方法上、下册》等经典图书，还阅读了《名师备课经验》等图书，不仅提高了自己的专业理论素养，还积淀了教学“内功”，也使我更加迷恋上了我所热爱的数学教育，真正体会到了数学世界的美与理，我会努力把我对数学的理解、对数学的热爱也传递给我的学生，我们一同感受数学本身所独有的魅力。
现在，读书已经成为我的一种嗜好、一种习惯，如果几天没有读书，心里就会痒痒的不舒服，我庆幸：我爱上了读书！
二、研究、实践，教学实践，深思、肯干
“把握数学的本质是一切教学法的根”，启迪我，投入做大气的小学数学教师要有扎实的数学功底，先进的教育教学理念，尤其是学生观。
“我听见过，就忘记了；我看见过，就记住了；我做过了，就理解了。”而把自己所学、所感、所悟用于自己的教学实践，能够让它充分发挥作用，才是真正有效地学习。
我先和建淮中心小学的陶老师一起研究设计了三年级下册《长方形和正方形的认识》一课的教学设计，对于这个内容似乎已经有了常规的教学方法，学生最容易出现的问题就是“面积”与“周长”混淆，由长度单位过渡到面积单位是学生学习几何初步知识的一次飞跃。
“怎么在学生头脑中有效的建立面积的概念”“如何让学生经历面积单位产生的过程”是我当时一直在思考的问题。
经过深思，我们大胆实践：
（1）利用学生认知冲突，由“周长”引入，“一条线段可以围成什么图形？”让学生初步感受“线”与“面”的联系，“这些平面图形除了可以研究周长，还可以研究什么呢？”“研究大小”、“研究面积”一句不经意的问话开启着学生思维认知的闸门，在借助手势的交流中学生逐步清晰的建立了面积的概念，体会了周长与面积的区别。
（2）提供多种学具，使学生经历“面积单位”的产生过程。
学生在按大小给5个平面图形“排队”的时候，遇到了问题，其中有两个图形很难分辨出大小，这时学生就想到借助一些小的图形作为标准摆在平面图形的上面，通过“标准”的数量比出大小，在实践的基础上再和学生一起讨论：哪个图形最好用，做“标准单位”更合适。……学生兴趣盎然，全身心的投入。
不断的深入思考，也在不断的让我体会到“抓本质，重过程”对于数学教学的重要性。
然后又与张兴小学的杨月梅老师一起研究了六年级数学的《倒数的认识》一课。
虽然教学设计的实施并不是我，但我愿意把我的想法和老师们一起分享，共同研究，在研究的过程中，我和上课的老师们一起收获、一起成长。
我十分珍惜能有上研究课的机会，在乡内，我上了《倒数的认识》一课。
我开始认真的翻阅教材中这部分的内容，整体把握教学内容，仔细琢磨每个例题要采用什么方法，达到什么目的，留给学生的知识是什么，可以培养学生哪方面的能力，渗透什么数学思想、方法，对于学生今后的数学学习能留下些什么？
重新学习课程标准，参看《教师教学参考用书》，上网查阅相关资料，翻阅《教与学的新方法》一书，再加上乡内名师的点拨与帮助，这一系列的问题在我的头脑中日渐清晰，决定大胆尝试“明理驭法”的教学设计。
这节课的教学设计和实施得到了乡内数学老师的一致肯定与好评，自己一直在教学实践中探索的“抓住学生课堂生成，运用教师评价语言教会学生学习”的研究在课上取得了很好的效果，得到了全体学员的认可。
三、感悟过程，真诚付出
虽然学习任务很紧，经常是挑灯夜战，但在学习、工作的过程中，我“累并收获着，痛并幸福着”！
学习虽然快要结束了，内心积蓄无限力量的我将以饱满的热情投入到工作之中，把这份难得的友谊记在心中，开始我教学生涯新的征程，我会努力把学到的理念、方法用于自己的教学实践之中，不辜负领导、老师们的希望，用优异的成绩回报给大家，用先进的教学理念、优化的教学方法回馈给学生，我会用我的心去教诲我的学生，用我的情去培育我的学生，无悔于我的教学生涯。
小学数学培训总结14
通过两天紧张的学习，虽然时间短暂，没有全面领会新课标的精髓，但点滴聆听，学习中，感悟颇深。新课程标准把全面发展放在首位，强调小学生学习要从以获得知识为首要目标转到首先关注人的情感、态度、价值观和一般能力的培养，创造一个有利于学生生动活泼、持续发展的教育环境。对于小学数学教学来说，既要转变教的方式又要转变学的方式，培养和形成“自主、合作、探索”的学习方式，在这两个转变中，教的方式转变是主要矛盾，教的方式一转变，学的方式也随之转变。学的方式转变可以理性地在课堂中呈现，证明教的方式转变，证明教师新理念的真正确立。课改实践告诉我们，没有坚定的新课程理念，真正意义上的教与学的转变是不可能的。下面谈谈本次培训学习的一些体会：
一、要重视数学思想史的介绍。
教学中要尽可能多地向学生展示数学知识的形成和演变过程中的功能，使学生学习到数学家们探索和研究数学的思想方法，让学生感受到的巨大价值。如小学阶段平行四边形面积的求法、圆周率的推导、素数理论的建立等等、等等
二、要倡导“问题解决”的教学模式。
未来的数课程将力求形成“问题情景——建立模型——解释、应用与拓展”的基本模式，以大众化、生活化的方式反映重要的现代数学观念和。“问题解决”的教学模式要求教师为引导学生学习某个问题，必须精心设计出关于教学内容的问题系列，让学生围绕这些问题进行积极的探索性的思维活动，设置的问题，要启发引导学生去发现、分析并解决。这样不仅能使学生成功地学到知识，而且学到统摄知识的，从中让他们发现数学真理的奥妙和体验成功的愉悦。
三、重点突出基本的的介绍和渗透。
我已有近三十年的教学经验，较详细地了解义教育阶段的数学教材，深感在数学教学中应该渗透以下几种类型的.：
1、宏观型的如抽象概括、化归、数学模型、数形结合、方程与函数、归纳猜想等；
2、逻辑型的如分类、类比、完全归纳、反证法、演绎法、特殊化等；
3、技巧型的如换元法、配方法、待定系数法等。
在过去十年的课改实践中，我们不断在摸索，不断在反思，在新课标的学习与实践之中，新理念、新思路、新方法不断冲击着站在课改浪尖上的教师们。我们曾经困惑，不知所措，但通过学习，我们又会新的姿态站在教育前沿。无论遇到多大的艰难险阻，我们紧跟着新课标、新理念，才不会迷失自己的方向，切实为学生的全面发展服务。
总之，面对新课标改革的挑战，我们必须转变教育观念，多动脑筋，想办法，使学生从生活经验和客观事实出发，让学生享受“数学学科的快乐“且快乐地学数学。
小学数学培训总结15
20xx年6月13日，我们肩负“国培计划”的重托，带着领导的期望来到了师大民族学院。本次培训，我感觉收获很多，带来的思考也很多。
一、新颖的学习方式，为我们搭建了互相学习、交流的平台。
本次培训中师生互动的教学方式、教学方法更好的贴近了课程改革的新思路新方法，充分调动了我们学员的主动性和创造性。活动期间，我们研讨激烈，设计方案，集思广益，使每一位老师在参与中收获，在学习中成长。
二、务实的学习内容，为我们构筑了领悟课改、推动课改的桥梁，提升了我们的业务水平。
省市教研员的精彩讲座，让我们对课程新理念有了更深的理解和反思。他们对目前小学数学课堂教学中的现实问题剖析，让我们明确了今后教研的重点，指明了今后教学工作的方向。
确定研究课题，设计教学案例，让我们亲身经历课题研究的过程，为我们今后课题研究给予了有效指导。
心理健康课程的培训，提升了我们的心理素质。让我们懂得了如何去善待每一个孩子，呵护他们的心灵；也让我们学会了健康生活，健康学习，幸福做人。
现代信息技术的培训，使我们掌握了作为信息化时代教师应该具备的现代化办公技能。……
培训虽然结束，我们学员团队的友谊刚刚开始。我们将继续学习和领悟本次培训的内容，重返岗位、扎实工作，做一名优秀的课程改革的执行者、推动者，共创河北小学数学改革的美好明天。
三、回学校后的打算
1、在学区或学校做一次专题报告会，与同事分享培训成果。
2、上一节优质公开课，共同交流和提高业务水平。
3、申报一项以自我为组长的科研课题。
4、继续开展研讨课活动。
5、建议学校多开展说课、评课等教研活动，这样既能让老师们互相学习经验，又能通过说课进一步了解新课标。
对于沙漠中行走的人来说，最感动的可能是得到一片绿洲；对于双目失明，四肢残缺的人来说，最感动的可能是能够拥有明亮的眼睛和健康的体魄；而对于在教学教研之路行走的我来说，最感动的就是听取专家名师对我指点迷津，让我找到了前进的方向。听了专家的讲座，一种感觉，那就是一语点破梦中人。
回顾这一年的工作，可以用四个字概括：一事无成。
课题做的不顺利，半年里实验记录整整写了四本，实验上却处处碰壁。现在老板着急，自己更着急，明明快过年了却一点过年的心情都没有。感觉自己真的不是做科研的这块料。不过这份作业里不想过多的写这些让人沮丧的东西。
最后一节课听您讲那篇张晓风的《不朽的失眠》，很感动。理科生不擅长写东西，堆砌不出那些华丽的'词来描述自己当时的感受。一个是因为这篇文章正好触动自己现在的心情。读完后想想，人活一世不过是个体验的过程。即使是做到青史留名，那些前人的故事也不过是后人的谈资，与当事人已经毫无瓜葛。无所谓贫贱富贵，荣耀屈辱都是一种人生体验。想的远一点就觉得眼前的困难也不过是一时一事。另一个感动是因为我很少见有哪个老师能够这么潇洒的授课。说实话这是我唯一一次来上课，有些后悔，这样的课即使是翘掉实验也该来多听听。在我看来您比国外那些来科大作报告的很有名的教授更成功。一个教师能够在学生面前如此潇洒的讲课才是最值得骄傲的事，远比那些职称与荣誉更来得珍贵。能够让我在几十分钟由衷佩服的人也不多，在这方面您已经赢过美国总统了：）——（这不是拍马屁，是真实的感受！）
最后也不想再多说什么了。希望自己能在新的一年实验做得顺利一点（人品啊，洒家喊你回家吃饭）。另外也祝老师您能够在新的一年里事事顺心，课讲得更加精彩，赢得更多学生的掌声。
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